Презентация, доклад по математике Музей истории математики

9 «Б» класса
Голуб Анастасия Игоревна

Конкурс «хочу быть педагогом»

Лельчицы, 2018г.

и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п.
С распространением счёта на больши́е количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления.
Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок, «трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч.

тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Все задачи имели прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Египет

Вавилон

Вавилонские цифры

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления.

Китай

Китайские и японские счёты

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань.
Китайцам было известно многое, в том числе: вся базовая арифметика, действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработан метод для решения систем произвольного числа линейных уравнений. Численно решались уравнения любой степени.

в Греции. Пифагорейская школа выдвинула тезис «Числа правят миром». Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия.
Для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин (аксиомы, постулаты). Затем с помощью логических рассуждений (правила которых также постепенно унифицировались) из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась дедуктивная математика.
Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. I — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки). II — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.
В этих двух отношениях древнегреческая математика вполне родственна современной.

Древняя Греция

изначально была изысканной. Для цифр использовалась с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.
Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней.
К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг.
Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка. Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.

носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.
В IX веке жил ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра».
Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений). Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) и Ал-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся работы в этих областях.
В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного.

веке наступил конец Западной Римской империи, и территория Западной Европы надолго превратилась в поле непрестанных сражений с завоевателями и разбойниками. Развитие науки прекратилось. Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века. Появляются первые университеты (Салерно, Болонья). Расширяется преподавание математики: в традиционный квадривиум входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка.
С XIV века главным местом научного обмена становится Византия. Особенно охотно переводились и издавались «Начала» Евклида. В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан Парижский университет, где обучались тысячи студентов со всех концов Европы; почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж в Британии. В XII—XIII веках начинается применение десятичной позиционной системы записи чисел. В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена, Гейдельберг, Лейпциг, Базель и др.).
Видный немецкий математик и астроном XV века Иоганн Мюллер стал широко известен под именем Региомонтан — латинизированным названием его родного города Кёнигсберг. Он напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый тригонометрии. Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, дал ясный набросок алгебраической символики.

европейской математики. Полностью усвоив достижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырвалась далеко вперёд.
Первым крупным достижением стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степени. Итальянские математики выработали правила обращения с «мнимыми числами» , приводящие к правильному результату. Так в математику впервые вошли комплексные числа. Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру. Третье великое открытие XVI века — изобретение логарифмов (Джон Непер)
Одновременно растёт престиж математики, в изобилии появляется множество практических задач, требующих решения — в артиллерии, мореплавании, строительстве, промышленности, гидравлике, астрономии, картографии, оптике и др. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чурались таких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Появляются первые Академии наук. В XVI—XVII веках роль университетской науки падает, появляется множество учёных-непрофессионалов: Стевин — военный инженер, Виет и Ферма — юристы, Дезарг и Рен — архитекторы, Лейбниц — чиновник, Непер, Декарт, Паскаль — частные лица.

и к концу века облик науки коренным образом меняется.
Рене Декарт восстанавливает алгебраическое понимание числа, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык (с помощью системы координат), после чего исследование становится намного эффективнее. Так родилась аналитическая геометрия. Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики, которому суждено большое будущее — теорию вероятностей. Якоб Бернулли формулирует первую версию закона больших чисел.
И, наконец, появляется не очень чёткая, но глубокая идея — анализ произвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малые отрезки прямых, появился исключительно могучий инструмент исследования — математический анализ. Комплексные числа считались фиктивными, правила действий с ними не были окончательно отработаны.
Во второй половине XVII века появляется научная периодика, ещё не специализированная по видам наук. Начало положили Лондон и Париж, но особо важную роль сыграл журнал Acta Eruditorum (1682, Лейпциг, на латинском языке). Французская Академия

кратко охарактеризовать как век анализа, который стал главным объектом приложения усилий математиков. Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. После динамики точки настал черёд динамики твёрдого тела, затем — жидкости и газа. Прогрессу в этой области немало способствовал спор о струне, в котором участвовали ведущие математики Европы. Далеко продвинулись теория и техника интегрирования. Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Центрами математических исследований становятся Академии наук, по большей части государственные. Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены.
В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» Монтюкла. Расширяется издание научно-популярной литературы. В 1701 году в России императорским указом была учреждена в Сухаревой башне математически-навигацкая школа, где преподавал Л. Ф. Магницкий. Он написал известный учебник арифметики, а позже издавал навигационные и логарифмические таблицы.

к мысли, что математика встроена в мироздание, является его идеальной основой.
В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, конечные поля, некоммутативные группы. Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, матрицы, функции, многолинейные формы. Возникает и получает широкое развитие математическая логика.
В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметно растут. Соответственно растёт и её государственная поддержка. Математика вновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляются первые математические общества: Лондонское, Американское, Французское, Московское, а также общества в Палермо и Эдинбурге.
Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформы М. М. Сперанского. В начале XIX века было создано Министерство народного просвещения, возникли учебные округа, и гимназии стали открываться во всех крупных городах России. При этом содержание курса математики было довольно обширным — алгебра, тригонометрия, приложения к физике и др.

век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал веком геометрии. Быстро развиваются созданные в конце XVIII века начертательная геометрия и возрождённая проективная геометрия. Появляются новые разделы: векторное исчисление и векторный анализ, геометрия Лобачевского, многомерная риманова геометрия, теория групп преобразований. Происходит интенсивная алгебраизация геометрии — в неё проникают методы теории групп, возникает алгебраическая геометрия. В конце века создана «качественная геометрия» — топология.
Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля. Большое влияние на развитие математики имела знаменитая речь Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи. Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрия Лобачевского. Тот факт, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике. Лобачевский настолько опередил своё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет после смерти.

XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции. Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа. Благодаря Коши мистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна.
Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения математической физики, доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений (Пуанкаре).
К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляются векторный анализ, тензорный анализ, исследуется бесконечномерное функциональное пространства ( Банахово пространство, Гильбертово пространство). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись.

«Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл кватернионы»

Намеченные у Эйлера аналитические методы помогли решить немало трудных проблем теории чисел. Гаусс дал первое безупречное доказательство основной теоремы алгебры. Жозеф Лиувилль доказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел, дал достаточный признак трансцендентности и построил примеры таких чисел в виде суммы ряда. В 1873 году Шарль Эрмит публикует доказательство трансцендентности числа Эйлера e, а в 1882 году Линдеман применил аналогичный метод и к числу π.
У. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов.
Возникла геометрическая теория чисел.
Эварист Галуа, опередивший своё время, представляет глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней. Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением группы подстановок и полей расширения. Галуа завершил работы Абеля, доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах

приложения. Этим занимались Гаусс, Пуассон, Коши. Была выявлена важность нормального распределения как предельного во многих реальных ситуациях.
Во всех развитых странах возникают статистические департаменты (общества). Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров.
Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не были созданы, и Гильберт в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладной физике.
Важные прикладные работы выполнил Виктор Яковлевич Буняковский — чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и теории вероятностей, автор фундаментального труда «Основания математической теории вероятностей».

(1847) де Морган описал понятие универсума и символы для логических операторов, записал известные «законы де Моргана». Позже он ввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями.
Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. В своих работах 1847—1854 годов он заложил основы современной математической логики и описал алгебру логики (булеву алгебру). Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты (разложения логической формулы).
Уильям Стенли Джевонс продолжил систему Буля и даже построил «логическую машину», способную решать логические задачи. В 1877 году Эрнест Шрёдер сформулировал логический принцип двойственности. Далее Готлоб Фреге построил исчисление высказываний. Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений и пропозициональных функций, а также ввёл кванторы. Современный вариант символики предложил Пеано. После этого всё было готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств.

имела только евклидова геометрия. Свойства новых объектов (например, комплексных чисел, бесконечно малых) попросту считались в целом такими же, как у объектов уже известных; если же такая экстраполяция была невозможна, свойства подбирались опытным путём.
Построение фундамента математики началось с анализа. В 1821 году Коши опубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основные понятия на основе концепции предела. Завершил фундамент анализа Вейерштрасс.
1870-е годы были легализованы неевклидовы геометрии. Их модели на базе евклидового пространства доказали, что они так же непротиворечивы, как и геометрия Евклида. 1879 год: Фреге публикует систему аксиом математической логики.
1899 год: выходят в свет «Основания геометрии» Гильберта.
В итоге к концу века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики. Непротиворечивость основных разделов математики (кроме арифметики) была строго доказана. Аксиоматический фундамент для теории вероятностей и теории множеств появился позже, в XX веке.

произвольного числового множества, а затем и общее понятие множества — самого абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные, континуальные и т. д. Иерархию мощностей Кантор рассматривал как продолжение иерархии целых чисел. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали.
Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её. Положение усугубило открытие «аксиомы выбора», которая, оказывается, неосознанно применялась во многих математических доказательствах. В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободный от обнаруженных ранее противоречий (теория классов), так что большинство математиков приняли теорию множеств. Однако былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики.

заметно выше. Математика развивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полно перечислить сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзные достижения упомянуты ниже.
Новые направления
Давид Гильберт
В 1900 году Давид Гильберт на Международном конгрессе математиков представил список из 23 нерешённых математических проблем. Эти проблемы охватили множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении.
Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме компьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теории управления, квантовой физики и других прикладных дисциплин.

математиков XX века.

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал две свои теоремы о неполноте, которые установили ограниченность математической логики. Это положило конец замыслу Давида Гильберта создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Несколько ранее в исследованиях Лёвенгейма и Скулема 1915—1920 годов обнаружен ещё один обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не может быть категорична. Другими словами, как бы тщательно ни формулировалась система аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода. Тем не менее формальная аксиоматика признана необходимой для того, чтобы прояснить фундаментальные принципы, на которые опираются разделы математики. Кроме того, аксиоматизация помогает выявлению неочевидных связей между разными частями математики и тем самым способствует их унификации.
Капитальные результаты получены в теории алгоритмов. Было доказано, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся. В 1933 году Андрей Колмогоров завершил (общепризнанную теперь) аксиоматику теории вероятностей.
В 1963 году Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема.

Ван дер Варден завершили построение основ общей алгебры, структуры которой (группы, поля, кольца, линейные пространства и др.) пронизывают теперь всю математику. Вскоре теория групп с большим успехом проникла в физику и кристаллографию. Другим важным открытием начала века стало создание и развитие плодотворной теории p-адических чисел.
В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем, включая свойства функции разбиения числа и её асимптотических оценок. Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции, модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теории простых чисел.
Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году, закрыв многовековую проблему.

Борель обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен интеграл Лебега. В школе Гильберта появился функциональный анализ, вскоре нашедший непосредственное применение в квантовой физике.
Абрахам Робинсон
В 1960-х годах Абрахам Робинсон опубликовал изложение нестандартного анализа — альтернативного подхода к обоснованию математического анализа на основе актуальных бесконечно малых.
Интенсивно развивается теория многомерных многообразий, стимулируемая потребностями физики (ОТО, теория струн и др.).

стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы, открытые Бенуа Мандельбротом (1975).
Герман Минковский в 1907 году разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности, позднее послужившую основой для Общей теории относительности (ОТО). Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких многообразий — в частности, римановых и псевдоримановых.

на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета.

Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошла существенная переориентация математических усилий. Значительно выросла роль таких разделов, как численные методы, теория оптимизации, общение с очень большими базами данных, имитация искусственного интеллекта, кодирование звуковых и видеоданных и т. п. Возникли новые науки — кибернетика, информатика, распознавание образов, теоретическое программирование, теория автоматического перевода, компьютерное моделирование, компактное кодирование аудио- и видеоинформации и др.
Ряд старых проблем получили решение при использовании компьютерных доказательств. Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютера решили проблему четырёх красок .
.

и ЭВМ становится междисциплинарным инструментом, который выполняет две основные функции: обучает специалиста-профессионала формулировать цель того или иного процесса, определять условия достижения этой цели; позволяет анализировать, т. е. “проигрывать” возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью модели. Математическое моделирование должно стать обязательным этапом, предшествующим принятию любого решения.
Роль математики в общечеловеческой культуре огромна. Место математики в жизни и науки определяется тем, что она позволяет перевести “общежитейские”, интуитивные подходы к действительности, базирующиеся на приблизительных описаниях, на язык точных определений и формул, из которых возможны количественные выводы. Не случайно говорят, что степень научности той или иной дисциплины измеряется тем, насколько в ней применяется математика.
.