Презентация, доклад по математике Десять способов решения квадратного уравнения

Марк
Учитель Авдеева Л.Н.

формулам, изучаемых в школьной программе

в процессе формирования науки алгебры.

Изучить различные способы решения квадратных уравнений

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне 2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения 3. Квадратные уравнения у ал- Хорезми
4 Квадратные уравнения и Омар Хайям 5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв 6. О теореме Виета
Способы решения квадратных уравнений
1. Разложение левой части уравнения на множители 2. Метод выделения полного квадрата
3. Решение квадратных уравнений по формуле
4. По теореме Виета
5. Способ «переброски»
6. По свойствам коэффициентов
7. Графическое решение
8. С помощью циркуля и линейки
9. С помощью номограммы
10. Геометрический способ

Заключение
Исследования и выводы.

уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.).
Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений.

что их сумма равна 20, а произведение - 96»
(10+х)(10-х) =96
или же:
100 - х2 =96
х2 - 4=0

Решение х= -2 для Диофанта не
существует так как греческая математика
Знала только положительные числа.

под заглавием
„Китаб аль-джебр валь мукабала", посвящен
в основном решению уравнений первой и второй
степени. Этот математик уравнения решает также
геометрически. Вот пример, ставший знаменитым,
из «Алгебры» ал - Хорезми: х2 +10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим
образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Систематически изучил уравнения
третьей степени, дал их классификацию,
выяснил условия их разрешимости
(в смысле существования положительных
корней). Хайям в своём алгебраическом
трактате говорит, что он много
занимался поисками точного решения
уравнений третьей степени.

Омар Хайям

по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовал распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII.

х2 + вх = с,
при всевозможных комбинациях
знаков коэффициентов b, с
было сформулировано в Европе
лишь в 1544 г.
немецким математиком
Михаэлем Штифелем.

уравнений и их корней общими формулами. (формулы Виета).
Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге "Математический канон" в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге „Isagoge in artem analiti-cam". Они свидетельствовали о всесторонности его знаний.
Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием “Opera mathematica”.

Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной».
Андронов А.А.,
советский математик

решения квадратных уравнений

Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.
Штифель (1486 – 1567, Германия) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.
Итальянские учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.
В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

- 24 = 0.
Разложим левую часть на множители способом группировки:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере,
один из его множителей равен нулю.
Это означает
2 и -12
корни уравнения
х2 + 10х - 24 = 0.

- 7 = 0
выделив в левой части полный квадрат.

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 =
(х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0
(х + 3)2 = 16.
х + 3 - 4 = 0 или х+ 3 = -4,
х1 = 1 х2 = -7.

0,

px + g = 0.
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
Для полного уравнения
ах2 + вx + с = 0.
x1 x2 = с/а,
x1 + x2 = - в/а

0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2х2 + аbх + ас = 0.
Замена ах = у, откуда х = у/а;

Уравнение у2 + by + ас = 0 равносильно данному.
Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а + b + с = 0 , то х1 = 1, х2 = с/а.

Если, а + с = в , то х1 = -1, х2 = - с/а.

второй и третий члены в
правую часть уравнения
х2 = - px - q.
Построим графики функций
у = х2 и у = - px - q.
Точки пересечения графиков
являются корнями уравнения

Построим точки S- центр окружности и точку А(0;1), абсциссы точек пересечения окружности с осью х являются корнями уравнения.
Так как по теореме о секущих имеем
OB • OD = OA • OC, откуда
OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

> a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках
( рис.1) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра
(AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 2) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.3), в этом случае уравнение не имеет решения.
рис.1 рис.2 рис.3

помощью
номограммы.

Решим уравнение
х2 + 10x = 39

В оригинале эта задача формулируется
следующим образом :
«Квадрат и десять корней равны 39»

с одной переменной»

с большими коэффициентами, при решении с помощью формул уходит примерно 8 минут,(без применения калькулятора и таблицы квадратов) тогда как на решение всех 20 заданий с применением других методов ушло 20 минут, т.е. по1 минуте на уравнение.

прошло длинный и тернистый путь.

Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры, они играют огромную роль в развитии математики.

Знание способов решения квадратных уравнений позволит мне выбирать рациональный в каждом конкретном случае, сэкономит время решения при применении свойств коэффициентов или теоремы Виета.

В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы,с.83-84.
Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.
3. С.В.Шиловская, За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам),-М: Глобус,2008,с.76-82.
4. Литвинова С.А., Куликова и др. За страницами учебника (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам), Решение алгебраических задач геометрическим методом, -М: Глобус,2008,с.35-38.
5. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М., «Педагогика»,1985.
6. Попова И.Н. Учебно- тренировачные и тематические тесты по математике, Базовый уровень. 9 класс. Государственная итоговая аттестация в новой форме.