Тема 1.1.
Матрицы и определители.
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Лекция № 5
УРОК ПЯТЫЙ
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Миноры и алгебраические дополнения - урок 5-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.
Содержание
- 1. Презентация по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Миноры и алгебраические дополнения - урок 5-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.
- 2. Основное понятие минора а11 а12
- 3. Рассмотрим пример 1Задание.Задан определитель А. Найти минор
- 4. Алгебраическое дополнениеА ij = ( -1) i
- 5. Рассмотрим пример 2Решение. Ответ:Задание.Найти алгебраическое дополнение А23 к элементу а231
- 6. Теорема о вычислении определителяТЕОРЕМАОпределитель равен сумме произведений
- 7. Разложение определителя по строкеа11 а12
- 8. Разложение определителя по столбцуа11 а12
- 9. Рассмотрим пример 3Задание.Вычислить определитель, разложив его по первой строкеРешение.Ответ:
- 10. ПримечаниеЗаметим, что понятие минора применяется и по
- 11. Миноры 3-го порядка матрицы А7 -1
- 12. Миноры 2-го порядка матрицы АМиноры 1-го порядка
- 13. Основные источникиЛунгу К.Н. Сборник задач по высшей
Основное понятие минора а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33Пусть detA =Минором любого элемента этого определителя называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки
Слайд 1Миноры и алгебраические дополнения.
ГБОУ СПО МО «ЛПТ»
Преподаватель математики
Осипова Людмила Евгеньевна
Mila139139
@ yandex.ru
Слайд 2
Основное понятие минора
а11 а12 а13
a21 а22
а23
а31 а32 а33
а31 а32 а33
Пусть detA =
Минором любого элемента этого определителя называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Обозначается Мij , где i – номер строки, j – номер столбца.
тогда
а12 а13
а22 а23
а11 а13
a21 а23
М31 =
а11 а13
а31 а33
М32 =
М22 =
а12 а13
а22 а23
Слайд 3Рассмотрим пример 1
Задание.
Задан определитель А. Найти минор M23 к элементу a23
определителя
Решение.
Вычеркиваем в заданном определителе вторую
строку и третий столбец:
Тогда
ОТВЕТ:
detA =
Слайд 4
Алгебраическое дополнение
А ij = ( -1)
i + j
М ij
Алгебраическое дополнение
элемента аij данного определителя называют минор этого же элемента, взятый со знаком (-1) , где i,j –номера соответственно строки и столбца, на пересечение которых находится элемент.
i + j
а11 а12 а13
a21 а22 а23
а31 а32 а33
Пусть задан detA =
тогда
Обозначается Аij , где i – номер строки, j – номер столбца
и задаётся формулой (1)
(1)
где Мij – минор этого же элемента
Слайд 5Рассмотрим пример 2
Решение.
Ответ:
Задание.
Найти алгебраическое дополнение А23 к
элементу а23
1
Слайд 6
Теорема о вычислении определителя
ТЕОРЕМА
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца)
на их алгебраические дополнения.
а11 а12 а13
a21 а22 а23
а31 а32 а33
Пусть задан detA =
, тогда
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
ПРИМЕЧАНИЕ
Обычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули.
( 2)
Слайд 7
Разложение определителя по строке
а11 а12 а13
a21 а22
а23
а31 а32 а33
а31 а32 а33
Пусть задан detA =
, тогда
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
(2)
= а11 (-1)
а22 а23
а32 а33
1+1
А11
+
+ а12 (-1)
1+2
a21 а23
а31 а33
А12
+ а13 (-1)
1+3
a21 а22
а31 а32
А13
Слайд 8
Разложение определителя по столбцу
а11 а12 а13
a21 а22
а23
а31 а32 а33
а31 а32 а33
Пусть задан detA =
, тогда
det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
(2)
= а11 (-1)
а22 а23
а32 а33
1+1
А11
+
+ а21 (-1)
2+1
a12 а13
а32 а33
А21
+ а31 (-1)
1+3
a12 а13
а22 а23
А31
Слайд 9Рассмотрим пример 3
Задание.
Вычислить определитель, разложив его по первой строке
Решение.
Ответ:
Слайд 10
Примечание
Заметим, что понятие минора применяется и по отношению к матрице. Это
определитель любой квадратной подматрицы для данной.
Пусть дана матрица А .
7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5
А =
Определителя у этой матрицы нет, т.к. она не квадратная, но для нее можно составить очень много миноров
3 х 4
Рассмотрим их
7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5
А =
3 х 4
7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5
А =
3 х 4
Слайд 11Миноры 3-го порядка матрицы А
7 -1 9
0 2
3 -2
8 4 6 5
8 4 6 5
А =
3 х 4
Образуются с помощью вычеркивания любого из столбца
7 -1
0 2 3
8 4 6
7 9
0 2 -2
8 4 5
7 -1 9
2 3 -2
4 6 5
-1 9
0 3 -2
8 6 5
М3 =
1
М3 =
2
М3 =
3
М3 =
4
Слайд 12
Миноры 2-го порядка матрицы А
Миноры 1-го порядка матрицы А
7 -1
9
0 2 3 -2
8 4 6 5
0 2 3 -2
8 4 6 5
А =
3 х 4
7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5
А =
3 х 4
Вывод. Минор – это определитель любой квадратной подматрицы для данной.
М2 =
1
7
0 2
М2 =
2
3
4 6
М2 =
3
9
8 5
Миноров 2-го порядка этой матрицы А по количеству будет еще больше.
М1 =
1
1
М1 =
4
2
М1 =
5
4
М1 =
-2
3
= 1
= -2
= 4
= 5
Слайд 13Основные источники
Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть /
К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
