Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Ранг матрицы - урок 6-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

1.1.
Матрицы и определители.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

Лекция № 6

УРОК ШЕСТОЙ

которых отличен от нуля

Обозначают: r, rang(A), r(A).

7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5

А =

3 х 4

7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5

А =

3 х 4

7 -1 9
0 2 3 -2
8 4 6 5

А =

3 х 4

Пусть

7 -1
0 2 3
8 4 6

М3 =

1

= 1(12-12) + 8(21+2) = 184 = 0

так как ее минор старшего порядка М3
отличен от нуля, тогда rang(A)= 3

1

Рассмотрим пример

0 0

D =

3 х 3

Пусть

тогда rang(A)= 1

потому что все миноры 3-го порядка равны нулю,
все миноры 2-го порядка тоже равны нулю и только один минор −1 = −1 ≠ 0 , а он первого порядка.

М3 = 0

М2 = 0

М1 =

φ

φ

1

−1 = −1 ≠ 0

Если матрица A нулевая, т. е. все ее элементы равны нулю, то и все миноры матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы считается равным нулю.

ПРИМЕЧАНИЕ

0 0
0 3 0
0 0 0

Самый старший минор для этой матрицы –это минор
3-го порядка. Таких миноров три. И каждый равен нулю.

Среди миноров 2-го порядка есть один - отличный от нуля

Решение.

М2 =

1

0
0 3

≠

= 3 – 0 ≠ 0

Ответ: rang(С) = 2.

4 х 3

вывод: чем больше в матрице
нулей, тем легче считать ее определитель

элементарных преобразований

Пусть в матрице А найден ненулевой минор k -го порядка . Рассмотрим все миноры  k+1 -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор Мk   ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

φ

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

следующей схемой

Минор k-го порядка не равен нулю

да

нет

Проверяем окаймляющие миноры.
Это будут миноры (k+1) – го порядка.
Среди них есть хоть один не равный нулю?

Ранг равен k

k: = k + 1

нет

да

1 2 -1 -2
2 4 3 0
-1 -2 6 6

А =

Задание.

Решение.

3 х 4

1. Рассмотрим миноры 1-го порядка матрицы А

М1 = 1 = 1

1

≠ 0

( условие выполнено )

-1 -2
2 4 3 0
-1 -2 6 6

А =

М2 =

1

1 2
2 4

= 1 4 - 2 2 = 4 – 4 = 0

( не подходит )

М2 =

2

-1
3

= 1 3 – 2 (-1) = 3 + 2 = 5

≠ 0

( условие выполнено)

3 х 4

-1 -2
2 4 3 0
-1 -2 6 6

3 х 4

А =

М3 =

1 2 -1
2 4 3
-1 -2 6

= 1 (24+12) – 2(12-2) – 1(12+4) = 36 – 20 – 16 = 0

1

( не подходит )

М3 =

2

1 2 -2
2 4 0
-1 -2 6

= -2 (-4+4) + 6 (4-4) = 0

( не подходит )

М3 =

3

1 -1 -2
2 3 0
-1 6 6

= 0

( не подходит )

М3 =

4

2 -1 -2
4 3 0
-2 6 6

= 0

( не подходит )

Ответ: rang ( A ) = 2

употребляется знаки: ~; ⇔ ; ↔

умножение строки на ненулевое число

перестановка двух строк

прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число

при транспонировании матрицы

1

2

3

4

2 2

2 х 3

1) Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку

А =

3 3
3 2 2

⇔

В =

1 2 3 2 3 2
3 2 2

6 6
3 2 2

=

В =

6 6
3 2 2

Получили матрицу

такую, что

А

В

⇔

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 1

2 х 3

=

6 6
3 2 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2

В =

6 6
3 2 2

⇔

С =

3 2 2
2 6 6

С =

Получили матрицу

такую, что

В

С

⇔

3 2 2
2 6 6

эквивалентные преобразования

2 х 3

6 6

3) От первой строки матрицы отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу D

2 х 3

С =

3 2 2
2 6 6

⇔

⇔

D =

3-2 2-6 2-6
2 6 6

D =

1 -4 -4
2 6 6

=

1 -4 -4
2 6 6

Получили матрицу

такую, что

C

D

2 х 3

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

2 х 3

6 6

2 х 3

4) Проведём транспонирование матрицы D, получаем эквивалентную матрицу F

D =

1 -4 -4
2 6 6

2 х 3

⇔

F =

1 2
-4 6
-4 6

3 х 2

Вывод: Матрицы А F ,
так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.

⇔

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4

1
4 8 18 4
18 40 17
1 7 17 3

А =

Решение.

Шаг 1. Из третий строчки вычтем вторую, умножив её на число два ( преобразование 3)

0 4 10 1
4 8 18 4
18 40 17
1 7 17 3

0 4 10 1
4 8 18 4
10-4 2 18-8 2 40-18 2 17-7 2
1 7 17 3

0 4 10 1
4 8 18 4
2 2 4 3
1 7 17 3

⇔

⇔

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

( преобразование 3)

0 4 10 1
4 8 18 4
2 2 4 3
1 7 17 3

0 4 10 1
4-1 4 8-7 4 18-17 4 4-3 3
2 2 4 3
1 7 17 3

0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2 2 4 3
1 7 17 3

⇔

⇔

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

Шаг 3. От третий строки отнимаем четвертую, умноженную на число два ( преобразование 3)

0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2 2 4 3
1 7 17 3

0 4 10 1
0 -20 -50 -5
2-1 2 2-7 2 4-17 2 3-3 2
1 7 17 3

0 4 10 1
0 -20 -50 -5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

⇔

⇔

( преобразование 3)

⇔

0 4 10 1
0 -20 -50 -5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

0 4 10 1
0-0 5 -20+4 5 -50+10 5 -5+1 5
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

0 4 10 1
0 0 0 0
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

⇔

Шаг 5. К третий строки прибавим первую, умноженную на число три ( преобразование 3)

0 4 10 1
0 0 0 0
0 -12 -30 -3
1 7 17 3

0 4 10 1
0 0 0 0
0+0 3 -12+ 4 3 -30+10 3 -3+1 3
1 7 17 3

0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 7 17 3

⇔

⇔

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

строки

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2

0 0 0 0
0 4 10 1
0 0 0 0
1 7 17 3

0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 7 17 3

1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0

⇔

⇔

4 х 4

С помощью элементарных преобразований над строками матрицу А привели к ступенчатому виду

1 7 17 3
0 4 10 1
0 0 0 0
0 0 0 0

4 х 4

1 7 17 3
0 4 10 1

2 х 4

rang (A) = 2

Ответ:

rang (A) = 2

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.