Презентация, доклад Начальный курс по подготовке к олимпиадам по математике

3. Простые и составные числа

4.. Деление с остатком. НОД и НОК

5. Обыкновенная дробь. Сократимость.

6. Десятичная запись числа.

7. Метод математической индукции.

8. Методы решения уравнений в целых числах.

9. Принцип Дирихле.

11. Решение логических задач.

В режиме демонстрации прейдите к оглавлению

Оглавление

Проверь себя

Перейти к оглавлению

Проверить свое решение

Справка

Переход к справочному материалу

N

При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д.

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Сумма двух четных чисел -

четное число

нечетное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Сумма двух четных чисел -

2. Сумма двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Сумма двух четных чисел -

2. Сумма двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

3. Сумма четного и нечетного чисел -

четное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Сумма двух четных чисел -

2. Сумма двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

3. Сумма четного и нечетного чисел -

четное число

нечетное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Произведение двух четных чисел -

четное число

нечетное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Произведение двух четных чисел -

2. Произведение двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Произведение двух четных чисел -

2. Произведение двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

3. Произведение четного и нечетного чисел -

нечетное число

Оглавление

n = 2k, где k принадлежит N -

четное число

n = 2k +1, где k принадлежит N -

нечетное число

Свойства четности, нечетность

1. Произведение двух четных чисел -

2. Произведение двух нечетных чисел -

четное число

нечетное число

четное число

3. Произведение четного и нечетного чисел -

четное число

четное число

Оглавление

Решение. Нет.

Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед.

Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число.

Оглавление

Тогда возможно:

а + а + а

а + а + b

а + b + b

b + b + b

= 6n

= 4n + 1

= 4n + 2

= 6n + 3

нечетно

нечетно

Ответ: 1, 3

3. Определите четность суммы: 1 + 2 + 3 +…+ 1999

Для решения используем более короткий ряд: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9

В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу).

Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна.

В ряду 1 + 2 + 3 +…+ 1999 999 пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу).

Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна

Оглавление

Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной.

15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; (15 + 17)·20 – четное; (15 - 17)·20 – четное

ВЫВОДЫ

Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно.

Пары: чет - нечет

Оглавление

Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета.

Оглавление

Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета.

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали?

Клеток по диагонали - 9

Клеток в столбцах и строках без них 8.

Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок.

Оглавление

Рассмотрим шахматную доску 8Х8

Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х100 - 50

Ответ: нельзя.

Четное число

Оглавление

Нажмите на лампочки первого ряда.

Нажмите на лампочки второго ряда.

Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т.е. 8 раз.

Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8.

Оглавление

а) Всего 50Х40 =2000

б) Всего 89

40 + 50 = 90, 90 – 1 = 89

Оглавление

Анализ.

Произведение равно 1 или – 1

Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов.

- 1

1

- 1

1

1

- 1

1

- 1

1

1

1

1

-1

1

Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1

Пусть количество 1 = n

Пусть количество -1 = m

Пусть n = m - нечетно

Количество звеньев - четно

n = m

В этом случае при любой расстановке получится сторона , имеющая одинаковый знак с соседними.

1

-1

1

-1

1

Оглавление

1

-1

-1

-1

1

Пусть n = m - четно

Количество звеньев - четно

Пусть n = m = 2k

Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k

Следовательно, количество сторон кратно 4.

Для решения нужно добавить еще два звена

-1

-1

-1

-1

Ответ: Количество сторон кратно 4.

Оглавление

Решаем самостоятельно

Оглавление

Оглавление

Оглавление

Рациональные числа

Иррациональные числа

Целые и дробные
числа* и нуль

Бесконечная
непериодическая
десятичная дробь

Множество действительных чисел - R

Множество натуральных чисел - N

Множество целых чисел - Z

* обыкновенные, конечные десятич. и периодические дроби

Оглавление

a : b

Делимость натуральных чисел. Свойства

Оглавление

Чтобы найти делители, надо число разложить на множители

п5 – 5п3 + 4п = п(п4–5п2+4) = п(п4 –п2–4п2+4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2)

Расположим множители в порядке возрастания

( п – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел

Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся

на 2k, 3m, 4l, 5 p

Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5

Оглавление

Остальные числа называются составными.

Простые

Составные

Оглавление

Остальные числа называются составными.

3

7

1

13

23

11

5

17

19

2

8

10

12

14

16

18

4

6

Простые

Составные

3) 75 = __________

4) 48 = ______

5) 72 = _________

6) 250 = _________

7) 54 = __________

8) 80 = _______

Разложение числа на простые множители:

864

22·3

23·3

52·3

24·3

23·32

53·2

33·2

24·5

2

432

2

216

2

108

2

54

2

27

33

Оглавление

НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда

Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, 120.

45 = 3·3· 5

75 = 3· 5·5

120 = 23 3· 5

Общие множители:

3 и 5

Берутся общие в меньшей степени

НОД(45,75,120) = 15

Все числа делятся на 15

Оглавление

НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда

Пример: Найдите НОК для чисел 45, 75.

45 = 3·3· 5

75 = 3· 5·5

НОК(45,75) = 3·5·3·5 = 225

225 делится на 45 и 75

Из 45 не хватает множителя 3

Из 75 не хватает множителя 5

Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое.

НОК(30, 12)

30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится

= 60

Берутся все множители в большей степени.

Оглавление

Оглавление

Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5

Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab

Оглавление

31 = 3 35 = 243
32 = 9 36 = 729
33 =27 37 = 2187
34 = 81 38 = 37·3

ВЫВОДЫ

Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень.

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014

Известно, что окончаний при возведении 2n – 4( 2, 4, 8, 6)

Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4

Разделим 2014 на 4:

2014 : 4 = 503 и 2 в остатке

2, 4, 8, 6

Ответ: 4

Оглавление

Окончаний 4: 2, 4, 8, 6

ВЫВОДЫ

Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень

Оглавление

a = bq + r

q – целая часть деления

r – остаток деления

Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2

Таких чисел множество: n = 3k + 2

Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2.

Оглавление

ВЫВОДЫ

Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1

Определим остатки при делении числа п на 3.

ВЫВОДЫ

Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2

Оглавление

ВЫВОДЫ

Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3

Определим остатки при делении числа п на 5.

ВЫВОДЫ

Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4

Оглавление

Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2

Остаток при делении п2 на 3 может быть только 1.

* Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство.

Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2

п = 3k + 1. n2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 = 3m + 1

п = 3k + 2. n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1.

Оглавление

2015 делится на 5.

Рассмотрим деление с остатком числа п на 5.

Остатки: 1, 2, 3, 4

п = 5k + 1, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 15k + 3 = 5l + 3 Остаток 3

п = 5k + 2, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 25k + 7 = 5l + 7 Остаток 2

п = 5k + 3, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 35k + 13 = 5l + 13 Остаток 3

п = 5k + 4, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 45k + 21 = 5l + 17 Остаток 2

Число п не делится на 2015.

Оглавление

Оглавление

Сокращение дробей

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители.

Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители.

Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей.

Оглавление

Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой.

В числителе число n делится на 6 и
в остатке 3

В знаменателе число п делится на 6 и
в остатке 4

Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число.

k =

Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q

Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1.

Оглавление

Например, 123 = 3 + 2 · 10 + 1· 102 = 3 + 20 + 100

Требование десятичной записи обозначается чертой над числом. 123

п показывает разряд

Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи:

Оглавление

Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9

67 > 9. Не может.

335

Оглавление

1111a+ 111b+11c+d = 2011

а может быть равно только 1 (1111) a = 1

с может изменяться от 0 до 9. 11с изменяется от 0 до 99

b может изменяться от 0 до 9. 111b изменяется от 0 до 999

Пусть b = 9, тогда 111b = 999. 1111 + 999 = 2110 > 2011

Пусть b = 8, тогда 111b = 888. 1111 + 888 = 1999 < 2011

11c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1

Оглавление

Алгоритм

1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1

2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k

3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1

Оглавление

Шаг 1.

п = 1

1 = 12 - верно

Шаг 2. предположение

п = k

1 + 3 + 5 … + (2k - 1) = k2 - верно

Шаг 3. индуктивный переход.

п = k + 1

1 + 3 + 5 … + (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

{

k2

k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 – верно

Выделим в выражении левой части выражение для n=k

Доказано.

{

Оглавление

Выделим в выражении левой части выражение для n=k

{

2k2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3)

Доказано.

Оглавление

п = 1

13 = 12

- верно

п = k

13 +23 +33+…+k3 = (1+2+3+…+k)2

- верно

п = k + 1

13 +23 +33+…+k3 +(k+1)3 = (1+2+3+…+k +(k+1))2

Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1)3

(1+2+3+…+k +(k+1))2 - (1+2+3+…+k)2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1))

a2

b2

(k + 1)3

Доказано.

{

{

-

Оглавление

Докажем, что это так:

n = 1 S1 = ½ - верно

Доказано

Оглавление

п = k + 1 5k + 1 + 3

Докажем, что выражение делится на 4

5k + 1 + 3 = 5 · 5k + 3 = 5 · 5k + 15 – 15 + 3 = 5(5k + 3) - 12

5k + 3 делится на 4

12 делится на 4

Следовательно, все число делится на 4

Оглавление

Уравнение вида ах + bx = c

1. Метод перебора

Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12

1) х =1

2· 1 + 5у = 12; у = 2

(1;2)

2) х =2

2· 2 + 5у = 12; у - дробное

3) х =3

2· 3 + 5у = 12; у - дробное

4) х =4

2· 4 + 5у = 12; у - дробное

5) х =5

2· 5 + 5у = 12; у - дробное

6) х =6

2· 6 + 5у = 12; у = 0

(6;0)

7) х > 6

2· 7 + 5у = 12; у < 0

Ответ: (1;2), (6;0)

Оглавление

Пусть кроликов х, у них 4 ноги.

Пусть фазанов у, у них 2 ноги.

4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х

Перебор:

1) х = 1; у = 7

2) х = 2; у = 5

3) х = 3; у = 3

4) х = 4; у = 1

5) х = 5; у = -1 < 0

6) х > 5; у < 0

Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)

Оглавление

Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах.

3х = 4у + 1

Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3

Пусть у = 3р

Тогда 12р + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 1

Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 2

Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3

3х = 12р + 9

х = 4р + 3

12р + 9 – 4у – 1 = 1

12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8

у = 3р + 2

Уравнение имеет бесконечное множество решений

Решение уравнений в целых числах

Оглавление

Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числах.

1. Найдем подбором одно из решений

х = 1, 2 Нет целых решений.

х 0= 3 у0 = 3

2. Запишем по формулам решения:

5х + 8у = 39

х 0= 3

х =

3

- 8

p

y =

3

+ 5

p

у0 = 3

Оглавление

Применим метод понижения коэффициентов.

23х - 79у = -1

Представим 79у как сумму чисел, одно из которых кратно 23

23х - 69у – 10у = -1

23х - 69у = 10у -1

Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже.

Подберем у так, чтобы 10у – 1 делилось бы на 23.

Очевидно, что у0 = 7

х0 = 24

х = 24 + 79р; у = 7 + 23р

Оглавление

Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах.

Разложим левую часть:

ху + 2х + 3у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6

(у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7

(у +2)(х +3) = 13

13 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0

Поэтому для решения в целых числах получим системы:

Оглавление

Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром.

х2 - 3ху + 2 у2 = 0

D = 9y2 – 8y2 = y2

(x – y)(x – 2y) = 0

Задача 18. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 11 в целых числах.

(x – y)(x – 2y) = 11

Далее см. задачу 16.

Оглавление

Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у.

3х2 + (3у – 1)х + 3у2 – 8у = 0

D = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1

Уравнение имеет решения, если D ≥ 0

Решим: - 27y2 + 90y + 1 ≥ 0

27y2 - 90y – 1 = 0

у1 ≈ - 1, … у2 ≈ 2, …

-1 ≤ y ≤ 2

y = -1, 0, 1, 2

y = - 1

3х2 - 4х + 11 = 0 нет целых корней

y = 0

3х2 - х = 0 целое х = 0

y = 1

3х2 + 2х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3

y = 2

3х2 + 5х – 4 = 0 нет целых корней

Ответ: (0;0), (1;1)

Оглавление

Будем решать относительно х: х2 – (1 + у)х + у2 – у = 0.

D = - 3y2 + 6y + 1

Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом.

Пусть – 3у2 + 6y + 1 = t2

Оценим t, выделив полный квадрат.

- 3((у2 – 2у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1)2 + 4

- 3(у – 1)2 + 4 = t2

t2 ≤ 4, | t | ≤ 2, -2 ≤ t ≤ 2

t = - 2, - 1, 0, 1, 2

t = - 2

- 3(у – 1)2 + 4 = 4, y = 1

x2 – 2x = 0, x = 0, x = 2

t = - 1

- 3(у – 1)2 + 4 = 1, y = 2,

x2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2

t = 0

- 3(у – 1)2 + 4 = 0, нет целых решений

t = 1

См. t = - 1

у =0

x2 – x = 0, x = 0, x = 1

t = 2

См. t = - 2

Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0)

Оглавление

Определим последние цифры при последовательном возведении в степень:

n = 2, m = 4

Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным.

Оглавление

32 + 4k = 9 · 34k

24 + 4l = 16 · 24l

k=1, l=3

36 + 7 ≠ 216

k=2, l=1

310 + 7 ≠ 28

k=3, l=4

314 + 7 ≠ 220

k=4, l=2

318 + 7 ≠ 212

k=5, l=5

322 + 7 ≠ 224

Ни при каких k и l нельзя добиться равенства.

Ответ: п=2, т=4

Оглавление

Способ 1.

Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)

Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.

х = 2, у = 1

Больше решений нет: 2х2 > 5y2

Ответ: x = 2, y = 1

242 – 245 = - 3

Оглавление

Способ 2.

Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)

Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.

2x2 – 5(2n + 1)2 = 3

2x2 – 20n2 - 20n - 5 = 3

2x2 = 20n2 + 20n + 8

x2 = 10n2 + 10n + 4

Так как х – натуральное, то 10n2 + 10n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х2 = 4

х = 2

2· 4 – 5у2 = 3, у = 1

Ответ: x = 2, y = 1

Оглавление

a2 + b2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна.

Выделим полный квадрат относительно х:

х2 + 4ху + 4у2 – 4у2 + 13у2 = 58

(х + 2у)2 + 9у2 = 58

Так как сумма равна 58, то 9у2 < 58

у2 < 58/9

В целых числах | у | < 2

, y = ± 1, y = 0

у = 1, х2 + 4х + 13 = 58, х2 + 4х – 45 = 0, х = - 9, х = 5

Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1)

При у = 0 целых х нет.

у = - 1, х2 - 4х + 13 = 58, х2 - 4х – 45 = 0, х = 9, х = - 5

Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом

Оглавление

Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Более общая формулировка «Если z зайцев сидят в
k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»

Оглавление

Оглавление

А как же я?

Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Оглавление

z

k

Если в k клетках

сидят z зайцев,

причем z > k, то

Нажмите на заслонку

Оглавление

причем z < k, то

Нажмите на каждую заслонку

Оглавление

Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).

Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

k - клетки

z - зайцы

Оглавление

k - месяцы

z - ученики

k = 12

z = 15

2. В ковре размером 3 х 3 метра Коля проделал 8 дырок.
Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 м,
не содержащий внутри себя дырок.

Решение.

Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м.

k - дырки

z - квадраты

k = 8

z = 9

Оглавление

k – количество песен

z - школьники

k = 4

z = 27

4. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал.

Число школьников из 15 школ, могущих размещаться в зале 15 · 400 = 6000

k – количество мест

z – всего школьников

k = 6000

z = 6015

Оглавление

Разобьем треугольник на 4, проведя средние линии.

Получим 4 равносторонних треугольника со сторонами 0,5.

k – количество точек

z – количество ∆

k = 5

z = 4

Оглавление

а1, а2, а3, …аn

а1 – первый член последовательности

аn – последний член последовательности

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и тоже число.

аn - 1 – предыдущий член последовательности

аn + 1 – последующий член последовательности

d – разность прогрессии

аn = a1 + (n – 1)d

d = an – an - 1

Оглавление

Оглавление

Каждый член, начиная со второго, равен среднеарифметическому двух соседних членов

Оглавление

q – знаменатель прогрессии

q = bn / bn - 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия с |q| < 1

Оглавление

Оглавление

По признаку деления на число должно оканчиваться на 0 или 5

1. Разность двух чисел оканчивается на 0, если последние цифры равны.

Следовательно, если среди 6 чисел, есть числа, оканчивающиеся на одинаковую цифру, то разность будет делится на 5

2. Разность двух чисел оканчивается на 5, если имеются числа с последними цифрами, разность которых равна 5 .

|6 – 1| = 5

|7 – 2| = 5

|8 – 3| = 5

|9 – 4| = 5

3. Если последние цифры 0 и 5, разность делится на 5.

Следовательно, любой набор из 6 целых чисел содержит хотя бы пару чисел, соответствующую одному из 3 вариантов. Других нет.

Наименьшее количество пар равно 1

Оглавление

1 · 1 · 1 · 1 · 1 = …1

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = …2

3 · 3 · 3 · 3 · 3 = …3

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = …4

5 · 5 · 5 · 5 · 5 = …5

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = …6

7 · 7 · 7 · 7 · 7 = …7

8 · 8 · 8 · 8 · 8 = …8

9 · 9 · 9 · 9 · 9 = …9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Если N оканчивается на 0, то N5 тоже оканчивается на 0

Если N оканчивается на 1, 2,3…9, то N5 тоже оканчивается 1, 2,3…9

Оглавление

k – цветов

z – количество вынутых шариков

k = 4

z = ?

Исходя из неравенства, наименьшее количество вынутых шариков 5

Оглавление

Расставим по главной диагонали

Расставим по следующей диагонали

Расставим по следующей диагонали

Расставим по следующей диагонали

Всего 4 варианта и еще 4 по другой главной диагонали

Всего 8 способов.

Щелкните по каждой клетке диагонали.

Аналитический способ

Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток.

Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.)

Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д.

Всего 8 способов.

Оглавление

Аналитический способ

Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку любого цвета в любую из 8 клеток. Всего 8·8 = 64

Во втором столбце — в любую из 7 клеток, любого цвета 7·8 = 56 < 64

Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку k.любого цвета, в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д.

Всего 82 = 64 способов.

Оглавление

Смит самый высокий;
играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

Оглавление

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Не врач

Не туризм

Юра

Физик

Бег

Влад

Юрист

Регби

Врач

Туризм

Оглавление

Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Это допущение

Оглавление

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны

0

1

1

0

1

Получили противоречие.

Оглавление

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны

0

1

1

0

1

Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

Оглавление

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны

1

1

0

1

Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

Оглавление