Презентация, доклад к проектной работе по математике Геометрическое решение алгебраических задач

10 физико-математического/социально-экономического класса МКОУ «Богучарский лицей».
Руководитель: учитель математики ВКК Кобелева Татьяна Васильевна.


2014

1) показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящные решения;
2) рассмотреть применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы для решения алгебраических задач;
3) рассмотреть применение метода линейных и двумерных диаграмм для решения алгебраических задач;
4) продемонстрировать применение геометрического метода для решения текстовых задач.

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать»

Решение: Пусть х-расстояние от
лестницы до стены (рис. 2)


По теореме Пифагора:
1172+ х2=1252
х2=1936; х=44 , так как х>0


Ответ: 44 стопы.

Задача из «Арифметики» Магницкого

прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13, а другой катет равен 12»

В результате получаем |х|=5, а значит, х=±5.








Ответ: х=±5.

– положительны.

Решение:
Треугольник AВС с прямым углом С (рис. 4b), у которого катет АС = 8, поскольку сумма длин соответствующих катетов равна 8. Катет ВС = 6,
так как x + у + z + t = 6. тогда гипотенуза
АВ = =10. Отсюда следует, что
гипотенузы рассматриваемых
треугольников лежат на одной прямой,
потому что в противном случае длина
ломаной AFEDB была бы строго больше
10.Точки F, E и D делят гипотенузу
АВ на части, которые относятся
BD:DE:EF:FA = 1:2:3:4. Проведем
через эти точки прямые,
параллельные катету АС. По теореме
о пропорциональных отрезках катет
ВС разделился в том же отношении,
т.е. x:y:z:t = 1:2:3:4.
Ответ: x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.

у2+z2=16 и у2=хz для положительных х, у, z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху+уz

Решение:
По теореме, обратной теореме Пифагора , числах, у и 3 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника АВD с прямым углом D. Из 2-го уравнения у, z и 4 так же есть
соответственно длины катетов и гипотенузы
треугольника ВСD с прямым углом D.
Третье уравнение системы разрешает
утверждать, что число у есть среднее
пропорциональное чисел х и z,
и по теореме, обратной теореме о
пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике,
угол АВС – прямой (рис).
Теперь рассмотрим выражение
ху+уz. ху+уz=(х+z)у= 2SAВС=3•4=12.

Ответ: ху+уz=12

пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждом станке в отдельности, если известно, что на первом ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?

Решение:
На оси абсцисс откладываем время работы станков в минутах. Оба станка сделают работу вместе за 10 минут. ОМ=10. Тогда одной первой понадобится t минут. А второй (t+15) минут.V - объем работ, который нужно выполнить. ОВ - график работы первого станка, ОС - второго, ОА – вместе (рис. 9). ΔОVB≅ΔNAB и ΔOPС≅ΔOMK, откуда
VO/AN=VB/AB и СP/KM=OP/OM; покажем, что
AN=KM. Так как за 10 минут первый станок
выполнит часть работы, соответствующий отрезку
NM (AN - отрезок работы который выполнит второй станок).
Но за 10 минут второй станок выполнит часть работы,
соответствующую МК. Поэтому АN=КМ.
Учитывая это равенство и то, что СР=VO, получаем,
VO/AN=CP/KM. Так как VO/AN=VB/AB и
СP/KM=OP/OM, то получаем соотношение: VB/AB=OP/OM, значит t/(t-10)=(t+15)/10; t2-5t-150=0; t=15 Таким образом, I станок выполнит работу за 15 минут, а II за 30 минут.
Ответ: 15 минут, 30 минут.

навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

ремонте на Соломбальской судоверфи. Для крепления мачты необходимо было установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватило ли 50 м троса для крепления мачты? (рис. 11)

Решение:
По теореме Пифагора 122+52=144+25=169; 13•4=52 (м)

Ответ: троса не хватило

с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1;0) и С(х2;0) где х1 и х2 –корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, и проходит через точку А(0;1) (рис). Тогда по теореме о секущих имеем OС×OВ=OЕ×OА, откуда OЕ= =(OB×OС)/OA=(x1×x2)/1=c/a.
Центр окружности -точка пересечения
перпендикуляров SF и SK, восстановленных в
серединах хорд АЕ и BС , поэтому
ОК=(x1+x2)/2=-b/2a,ОF=(1+c/a)/2=(a+c)/2a.
Способ нахождения
корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0
с помощью циркуля и линейки:
построим точки S (-b/2a; (a+c)/2a) – центр
окружности и А(0;1);
2) проведем окружность радиуса SA;
3) абсциссы точек пересечения этой
окружности с осью Оx являются корнями исходного
квадратного уравнения (рис).

центр окружности и А(0;1) на координатной плоскости;
2) Проведем окружность радиуса SA (рис. 4);
3) Окружность пересекает
ось абсцисс в точках (-1/7;0)
и (1;0)
4) Проверкой убеждаемся,
что х1=−1/7; х2=1 –
корни данного уравнения.


Ответ: х1=−1/7; х2=1

Решение:


Запишем уравнение в виде lx-1=5-2х .
Так как |x – 1| ≥ 0 при любых х, то и
5 – 2x ≥ 0 ,
т. е. x ≤ 2,5. Построим графики
функций
у1=|x-1|, y2=5-2x (рис. 5).

Решением данного уравнения является
абсцисса точки пересечения данных
графиков.

Ответ: х=2

α, tg α.

.

четыре решения?

Решение:

Построим линии, определяемые
уравнениями системы (рис. 9).
Четыре решения могут быть
только в двух случаях,
когда. a = R2 =1 или a = r2 =1/2



Ответ:1; 1/2

геометрия представляют собой единое целое. Вспомним крылатую фразу французского математика Софии Жермен : «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».В ходе работы нам удалось увидеть синтез этих двух великих наук. Мы убедились, что
геометрические подходы часто
упрощают решение задач.

Геометрия-