Презентация, доклад для кружка по математике на тему Остров рыцарей и лжецов (6-7 класс)

Гранкина Наталья Юрьевна
Школа: ГАОУ ТО “ФМШ”, г. Тюмень

- “рыцари”, которые всегда говорят правду, и “лжецы”, которые всегда лгут.

рыцарь или лжец?
Вы спросили у человека с острова “Кто ты: рыцарь или лжец?”. Что он ответит?
Мог ли человек с острова сказать: “Я - лжец”?

лжец?
Например, спросить: “Ты - человек?” или “Дважды два - четыре?” Рыцарь скажет “да”, а лжец “нет”.
Вы спросили у человека с острова “Кто ты: рыцарь или лжец?”. Что он ответит?
Кто бы ни был этот человек, он скажет: “Я - рыцарь”. Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя.
Мог ли человек с острова сказать: “Я - лжец”?
Нет, никто не скажет, что он лжец.

роста. Каждый заявил “Среди тех, кто выше меня, есть лжецы”. Сколько лжецов могло быть среди них?

роста. Каждый заявил “Среди тех, кто выше меня, есть лжецы”. Сколько лжецов могло быть среди них?

Самый высокий - точно лжец (ведь выше него вообще никого нет, а значит и лжецов среди них нет)
Любой кто ниже него, автоматически говорит правду - значит он рыцарь
Лжец - один (самый высокий), все остальные - рыцари (сколько угодно)

Решение

так и лжецов не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты – рыцарь!» или «Ты – лжец!». Высказываний «Ты – лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты – рыцарь!»?

так и лжецов не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты – рыцарь!» или «Ты – лжец!». Высказываний «Ты – лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты – рыцарь!»?

Пусть Рыцарей - а штук, Лжецов - b штук.
“Ты лжец” говорят рыцари -> лжецам и лжецы -> рыцарям.
Всего таких высказываний a*b+b*a = 2ab = 70
Значит либо a=5 b=7, либо наоборот a=7 b=5
“Ты рыцарь” говорят рыцари -> рыцарям и лжецы -> лжецам
Всего таких высказываний a*(a-1) + b*(b-1) = 7*6+5*4 = 62

Решение

либо лжец. Каждый из сидящих за столом произнес фразу: "Рядом со мной сидит больше лжецов, чем напротив меня". Докажите, что за столом сидит четное число рыцарей.

Задача 3

рыцарь, либо лжец. Каждый из сидящих за столом произнес фразу: "Рядом со мной сидит больше лжецов, чем напротив меня". Докажите, что за столом сидит четное число рыцарей.

Если напротив каждого рыцаря сидит рыцарь, то они разбиваются на пары, а значит количество рыцарей - четное.
Если же найдется рыцарь, напротив которого сидит лжец, рассмотрим их и их соседей.
Соседи рыцаря - два лжеца, соседи лжеца - два рыцаря.
Получили новые пары Рыцарь - Лжец. Повторяем пункт 3.
При рассмотрении возможностей получаем, что единственный возможный способ - чередование рыцарей и лжецов (по кругу) - а значит их по 50, тоже четное.

Решение

Каждый из стоящих произнёс фразу: «Я выше ровно одного из своих соседей». Могло ли среди стоящих по кругу быть ровно 7 лжецов?

Задача 4

роста. Каждый из стоящих произнёс фразу: «Я выше ровно одного из своих соседей». Могло ли среди стоящих по кругу быть ровно 7 лжецов?

Лгут “карлики” - те, кто ниже обоих соседей, и “гиганты”- те, кто выше обоих соседей
Если соединить головы людей плавной линией, то получится волна.
В волне чередуются ее пики - высшие точки и низшие точки - которые соответствуют “гигантам” и “карликам”
Значит “карлики” и “гиганты” чередуются.
Значит всего их, то есть лжецов, четное.

Решение

Каждый из них произнёс две фразы: «Рядом со мной стоит лжец». «Рядом со мной стоят два лжеца». Сколько в этом ряду рыцарей?

Задача 5

островитян. Каждый из них произнёс две фразы: «Рядом со мной стоит лжец». «Рядом со мной стоят два лжеца». Сколько в этом ряду рыцарей?

Первый в ряду точно лжец (ведь вторая фраза - ложь)
Значит второй точно рыцарь (ведь первая фраза - истина)
А третий опять лжец (ведь около рыцаря должно было быть два лжеца)
и т.д
Получаем, что на нечетных местах - лжецы, а на четных - рыцари.
Рыцарей - 49.

Решение