Презентация, доклад на тему Круги Эйлера как способ решения олимпиадных задач

мы не можем заполнить, возвышает нас, а именно она,
наша мысль.
Будем же учиться хорошо мыслить»
Б. Паскаль

означает, что какие-то четыре числа в таблице пропущены. Без помощи ручки или карандаша, только глазами отследите все числа и запомните недостающие.

Ответ: 3,6,11, 17

15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача № 1:

1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он очень много работал и вскоре стал первым математиком мира.

облегчить наши размышления».
При решении целого ряда задач он использовал идею изображения множеств с помощью кругов и эти круги получили название «Круги Эйлера».

15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача № 1:

6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

Задача № 2:

Решение:

капуста

морковь

горох

7

6

5

4

3

2

1

3

2

1

1

1

1

Ответ: 10 человек.

заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Задача № 3:

11 книг,
из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона,
то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри.
Следовательно,  26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 

5

8

знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?

Задача № 4:

Решение:

немецкий

французский

75

83

х

100-10=90

Получим уравнение: 75+83-х=90
158-х=90
х=68

Ответ:
68 человек знали оба языка

затруднение, а потом …
Меня удивило….
Я смогу теперь решить….

17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются только двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Задача № 5:

Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно что одним лишь видом спорта – баскетболом- занимаются

16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

одним лишь хоккеем
17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лишь футболом
18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочками:
3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38, z = 2.

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ:
Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта . Увлекающихся лишь одним видом спорта - 21 человек.

классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Решение:

классическая музыка

джаз

народная музыка

14

15

14

6

7

9

5

1

4

2

7

4

3

Ответ:
29-7-2-1-5-3-4-4=3(человека)
– не любят никакую музыку.

Задачи для самостоятельного решения:

Площадь одного из них -10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м². Найдите площадь участка пола:
а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром;
б)покрытого только первым ковром;
в)не покрытого коврами.

Решение:

1

2

3

10

8

6

3

3

3

1

5

3

2

2

2

1

Ответ:
а) 10м²;
б)5 м²;
в) 24-10-5-1=8 м²

Задачи для самостоятельного решения:

– в цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и музей – трое, в цирке и музее был один человек. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а трое вообще никуда не ходили?

Ответ: 20 человек

Задача для самостоятельного решения:

Задача № 4:

драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?

Ответ: 10 ребят, 11 спортсменов.

Задача для самостоятельного решения:

Задача № 5:

– в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Ответ: 7 сотрудников

Задача № 6: