Презентация, доклад на тему Аналитическое решение уравнений и их систем в пакетах символьной математики.

Родионова А. В.

функция DSolve

Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента
DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных
или граничных условий:

y(x). Однако это решение не определяет правил замены
производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

уравнений, а в качестве второго
аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество
начальных или граничных условий, то будет найдено частное
решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

пакет Mathematica.
Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ,
то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду,
используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений.
Если же аналитически решить уравнение не удается,
можно попробовать решить его численно.

приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.

х]
{{у[х]->aх4/2+С[1]}}
DSolve[{yl' [х] == 2 х2, у2' [х] == 3 х}, {yl[х], у2[х]}, х]
{{yl[x] ->-2х3/3+C[1], у2[х] ->3х2/2+C[2]}}
DSo2ve{y'[x] +у[х] ==х, у[х], х}
{{у[х] -*-1+х + е-хС[1]}}
DSolve [у" [х] - у' [х] - 6 у [х] == 0, у [х] , х] {{У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}
DSolve [у" [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]
{{У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}
DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]
{{y[x] ->C[1] +Sinlntegral[ex]}}
DSolvefz2 w"[z] +zw'[z] - (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]
{{w[z] ->BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] }}

уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

продублированы на аналогичной панели инструментов.
Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).

выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

> Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как
Find(х,у,...) ,
где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.
Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.
Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов 

дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).
По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.
Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y - независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.
 

  строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное   (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double  (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve  может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB  потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и   фактически синтаксис решения уравнения х2 - Зх = -7 будет выглядеть так:

где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для   получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы   отобразить больше знаков.