Презентация, доклад по математике на тему Пирамида 10 класс

активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12)

которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину

вершины; боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине; боковые ребра — общие стороны боковых граней; вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

SO — высота
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности

основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

углы при основании равны. Двугранные углы при боковых ребрах равны. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Проанализируем объём какой пирамиды будет больше: EABC или SEBC?

*Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Если рассмотреть две полученные пирамиды и в обеих принять за основание грань ЕВС, то становится очевидно, то объём пирамиды АЕВС будет больше объёма пирамиды SEBC. Почему?
Расстояние от точки А до плоскости ЕВС больше чем расстояние от точки S. А это расстояние играет у нас роль высоты.

Итак, найдём объём пирамиды ЕАВС.

Объём исходной пирамиды нам дан, основание у пирамид SАВС и ЕАВС общее. Если мы установим соотношение высот, то без труда сможем определить объём.

Из отношения отрезков ES и AE следует, что АЕ равно две третьих ES. Высоты пирамид SАВС и ЕАВС находятся в такой же зависимости - высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС.
Таким образом, если



То







Ответ: 10

Постоим пирамиду, обозначим вершины. Отметим на ребре AS точку Е, так чтобы AE была в два раза больше ES (в условии сказано, что ES относится к AE как 1 к 2), и построим указанную плоскость проходящую, через ребро АС и точку Е:

ребер данного тетраэдра.

Объем указанного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра V0 и четырех равных тетраэдров, каждый из которых получается отсечением плоскостью, проходящей через середины рёбер, имеющих общую вершину:



Определим, чему равен объём отсеченного тетраэдра.

Отметим, что исходный тетраэдр и «отсечённый» тетраэдр являются подобными телами. Известно, что отношение объёмов подобных тел равно k3, где k - коэффициент подобия. В данном случае он равен 2 (так как все линейные размеры исходного тетраэдра в два раза больше соответствующих размеров отсечённого):



Вычислим объём отсечённого тетраэдра:




Таким образом, искомый объём будет равен:



Ответ: 100

являются середины ребер данного тетраэдра.

Первый способ:
Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (на каждой из 4 граней тетраэдра по 4 треугольника), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности данного тетраэдра и равна 60.
Второй способ:
Так как известна площадь поверхности тетраэдра, то мы можем найти его ребро, затем определить длину ребра многогранника и далее вычислить площадь его поверхности.
Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырёх равных по площади правильных треугольников. Пусть сторона такого треугольника (ребро тетраэдра) равна а, тогда можем записать:

середины рёбер тетраэдра.
Многогранник имеет восемь равных граней являющихся правильными треугольниками, значит его площадь поверхности будет равна:

Данное решение алгебраическое и рациональным его назвать никак нельзя, представлено как альтернативный вариант.

Ответ: 60

правильной?
Куда проектируется высота правильной пирамиды?
Назовите угол между боковым ребром пирамиды и основанием; Между боковой гранью и основанием; угол между боковыми гранями пирамиды?