Презентация, доклад по геометрии на тему Движения (11 класс)

математики высшей квалификационной категории

в соответствие некоторая точка М’, причем любая точка М’ пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М, то говорят, что задано отображение пространства на себя. Говорят также, что при данном отображении точка М переходит (отображается) в точку М’

любая точка М переходит в симметричную ей точку М’ относительно данного центра О

Докажем, что центральная симметрия является движением
Обозначим буквой О центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Охуz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек М (X; Y; Z) и М’ (X’; Y’; Z’), симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с центром О, то О — середина отрезка ММ’ (см. рисунок а). По формулам для координат середины отрезка получаем
(X +X’)/2=0; (Y +Y’)/2=0; (Z +Z’)/2=0;
откуда X’= -X, Y’ = -Y, Z’= -Z. Эти формулы верны и в том случае, когда точки М и О совпадают.
Рассмотрим теперь любые две точки А (X1; Y1; Z1) и В (X2; Y2; Z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А’ и B’ равно АВ (см. рисунок b). Точки A’ и В’ имеют координаты А’ (-X1; -Y1; -Z1) и В’ (-X2; -Y2; -Z2). По формуле расстояния между двумя точками находим:
АВ = √[(X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 + (Z2 – Z1)2]; А’В’ = √[(-X2 + X1)2 + (-Y2 + Y1)2 + (-Z2 + Z1)2]
Из этих отношений ясно, что АВ =А’В’, что и требовалось доказать.

на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М’ относительно оси а.

Докажем, что осевая симметрия является движением
Введем прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (X; Y; Z) и М’ (X’; Y’; Z’), симметричных относительно оси Оz (см. рисунок а). Если точка М не лежит на оси Оz, то ось Оz: 1) проходит через середину отрезка ММ’
2) перпендикулярна к нему
Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем (X +X’)/2=0 и (Y +Y’)/2=0, откуда X’= -X и Y’= -Y. Второе условие означает, что аппликаты точек М и М’ равны: Z’=Z. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси Оz.
Рассмотрим теперь любые две точки А (X1; Y1; Z1) и В (X2; Y2; Z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками A’ и В’ равно АВ (см. рисунок b). Точки А’ и В’ имеют координаты А’ (-X1; -Y1; -Z1) и В’ (-X2; -Y2; -Z2). По формуле расстояния между двумя точками находим:
АВ = √[(X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 + (Z2 – Z1)2]; А’В’ = √[(-X2 + X1)2 + (-Y2 + Y1)2 + (-Z2 + Z1)2]
Из этих отношений ясно, что АВ =А’В’, что и требовалось доказать.

любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости а точку М’

Докажем, что зеркальная симметрия является движением
Введем прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (X; Y; Z) и М’ (X’; Y’; Z’), симметричных относительно плоскости Оху (см. рисунок а). Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость:
1) проходит через середину отрезка ММ’
2) перпендикулярна к нему
Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем (Z +Z’)/2=0, откуда Z’= -Z. Второе условие означает, что отрезок ММ’ параллелен оси Оz, и, следовательно, X’=X и Y’=Y. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит в плоскости Оху.
Рассмотрим теперь любые две точки А (X1; Y1; Z1) и В (X2; Y2; Z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А’ и В’ равно АВ (см. рисунок b). Точки А’ и В’ имеют координаты А’ (-X1; -Y1; -Z1) и В’ (-X2; -Y2; -Z2). По формуле расстояния между двумя точками находим:
АВ = √[(X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 + (Z2 – Z1)2]; А’В’ = √[(-X2 + X1)2 + (-Y2 + Y1)2 + (-Z2 + Z1)2]
Из этих отношений ясно, что АВ =А’В’, что и требовалось доказать.

р называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М’, что MM’= р (см. рисунок a)

Докажем, что параллельный перенос является движением.
При параллельном переносе на вектор р любые две точки А и В переходят в точки А’ и В’ такие, что АА’= р и ВВ’= р. Требуется доказать, что А’B’=АВ. По правилу треугольника АВ’=АА’ + А’В’. С другой стороны, АВ’=АВ + ВВ’ (см. рисунок b). Из этих двух равенств получаем
АA’ + А’В’=АВ + ВВ’, или р + А’В’=АВ + р,
откуда А’В’=АВ. Из последнего равенства следует, что А’В’=AB, что и требовалось доказать.