Презентация, доклад к уроку геометрии в 9 классеТеорема Чевы(Дополнительный материал)

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

ВС и АС
треугольника АВС взяты
соответственно точки С1, А1 и В1, то
отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются
в одной точке тогда и только тогда, когда



Обобщенная теорема Чевы

В

С

А

С1

А1

В1

точке О.
Через вершину С треугольника ABC
проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1
обозначим соответственно А2, В2. Из подобия
треугольников СВ2В1 и АВВ1 имеем равенство

(1)

Аналогично, из подобия треугольников ВАА1 и СА2А1

имеем равенство (2)

А

С1

В

А1

А2

С

В2

В1

О

BC1Oи В2СО,

AC 1O и А2СО имеем


Следовательно, имеет место равенство

(3)

Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим

требуемое равенство

для точек А , В , С , взятых на
соответствующих сторонах треугольника ABC,
выполняется равенство (*). Обозначим точку
пересечения прямых АА1 и ВВ1 через О и точку
пересечения прямых СО и АВ через С". Тогда, на
основании доказанного, имеет место равенство



Учитывая равенство (*), получим равенство


, из которого следует совпадение точек С"
и С , значит, прямые АА1, BB1, СС1 пересекаются
в одной точке.

Задача 2




*Задача для самостоятельного решения.

Задача 4

Задача 3*

ЗАДАЧА 1

Дано:
АВС - треугольник,Вписанная (или вневписанная) окружность касается прямых ВС, АС и АВ в точках А1,В1 и С1.

Доказать:
что, прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Посмотреть решение

РЕШЕНИЕ:

Ясно, что АВ1=АС1, ВС1 =ВА1,
и СА1 = СВ1, причем в случае
вписанной окружности на
сторонах треугольника АВС
лежат три точки, а в случае
вневписанной – одна точка.
Воспользовавшись теоремой Чевы, получим что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА2

Дано: АВС – треугольник,
прямые АА1 , ВВ1 , СС1 .

Доказать:
Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке.

С

В

А

А1

В1

С1

Посмотреть решение

, СС1 – биссектрисы
треугольника АВС. Тогда



Следовательно

значит, АА1,ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА3

Дано:
АВС – треугольник,
точки С1 и А1 делят стороны
АВ и ВС в отношении 1:2.
Прямые СС1 и АА1
пересекаются в точке О.
Найти:
отношение, в котором прямая ВО
делит сторону АС.

Используя теорему Чевы,


имеем: .

ЗАДАЧА 4

Дано:
в треугольнике АВС проведены
биссектрисы АА1, ВВ1 и СС1 .
Биссектрисы АА1 и СС1 пересекают
отрезки С1В1 и В1А1 в точках M и N.

Доказать:
что угол MBB1 = углу NBB1.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4

Пусть отрезки ВМ и ВН пересекают сторону АС в точках Р и Q. тогда(1)


если О- точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то (2)
,а значит,(3).



Заметив, что ВС1:С1А=ВС:СА , и
проведя аналогичные вычисления для sin QBB1:sin QBC,получим
sinPBB1:sinPBA=sinQBB1:sin QBC.
так как угол авв1=угол свв1,
то угол рвв1=угол qbb1.