Презентация, доклад к уроку геометрии 10 кл Расстояние между скрещивающимися прямыми

Подготовила Матвеенко Вера Николаевна

плоскостями и телами
Знакомство с новым понятием: расстояние между скрещивающимися прямыми
Усвоение и отработка общих приемов определения расстояний между скрещивающимися прямыми

объектами: прямыми и плоскостями
Определение нового понятия: расстояние между скрещивающимися прямыми
Решение типовых задач на определение расстояний между скрещивающимися прямыми
Решение проблемной задачи на обобщение приема нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

трех перпендикулярах
Приемы стерео и планиметрических построений
Типовые и проблемные задачи
Компьютер с мультимедийным проектором

Определение и усвоение нового понятия
Второй урок . Решение типовых задач на усвоение и отработку нового понятия
Третий урок. Проблемная задача на обобщение приема нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми

прямые C1D и B1K?

Параллельны ли прямая AC и плоскость A1B1C1D1?
Параллельны ли прямая AL и плоскость A1B1C1D1?

плоскостью?

Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью AA1D1D

Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью DD1C1C

Найдите расстояние между прямой B1K и плоскостью DD1C1C

между прямыми:
A1B и C1D,

A1B и DK ,
A1B и DL.

называется расстояние между ближайшими точками этих прямых.
Определение2: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Определение 3: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую.
Определение 4: … называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.
Определение 5: … называется расстояние между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

которой есть искомое расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Для её нахождения вычисляют объем этой пирамиды двумя способами, и затем находят высоту.

A1,B,D.
Решаем систему относительно a,b,c,d:

 

(A1)
(B)
(D)

 

ρ(DA1,CD1) = 2

одновременно перпендикулярный им и есть расстояние между этими прямыми

K1

L1

Этот отрезок равен расстоянию от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости в которой лежит другая прямая

AC⊥BB1D1D, отсюда AC ⊥ любой прямой плоскости BB1D1D

следует OM/BB1=OD/B1D

OM=BB1⋅OD/B1D=a/√6

Найдите расстояние между скрещивающимися диагональю куба и диагональю его грани.

Решение. Треугольник BB1D перпендикулярен AC. Отрезок OM ⊥ B1D, будет перпендикулярен и AC . OM - расстояние между AC и B1D.

обеим прямым (единственный!)

Перпендикуляр от одной из прямых до параллельной плоскости, в которой расположена другая прямая, конец которого не обязательно лежит на прямой!

Перпендикуляр между параллельными плоскостями в которых лежат скрещивающиеся прямые, концы которого не обязательно лежат на прямых!

прямой ?

Достаточно провести через одну из скрещивающихся прямых прямую линию, параллельную другой скрещивающейся

Заметим, что отрезок соединяющий точки пересечения пар параллельных прямых не равен расстоянию между скрещивающимися прямыми!

этому типу относится уже рассмотренная задача о расстоянии между диагональю куба и скрещивающейся диагональю его грани.

Стандартный прием решения этих задач заключается в проведении плоскости, в которой лежит одна прямая, перпендикулярно другой скрещивающейся прямой

между прямыми AD и D1 M, где M – середина ребра DC

Плоскость грани DD1C1C перпендикулярна ребру AD. Из точки D опустим перпендикуляр DK на D1 M. Треугольники DD1M и DKM подобны с коэффициентом подобия 1/2. DK=D1M/2=a⋅√5/2

M

K

между прямыми BD и O1 M, где M – середина AO, O и O1 – центры граней ABCD и A1B1C1D1, соответственно

Диагональная плоскость AA1C1C перпендикулярна прямой BD. Из точки O опустим перпендикуляр OK на O1 M. Треугольники OO1M и OKM подобны. OK=OO1⋅OM/O1M =a/3 (по теореме Пифагора O1M=3/2√2, OM=1/2√2)

O1

K

M

O

расстояние между скрещивающимися диагоналями AC и A1 B смежных граней ABCD и AA1B1B

Проведем диагональ D1C||A1B, получим треугольник AD1C||A1B, проведем диагональ A1C1||AC, получим треугольник A1BC1||AC

O1

K

M

O

M

N

Плоскости треугольников AD1C и A1BC1 параллельны и перпендикулярны плоскости BB1D1D

по теореме Фалеса равно 1/3 диагонали B1D: MN=a/√3

M

N

B

B1

D1

D

O1

O

Замечание. Перпендикулярность B1D к B1O и OD1 следует из доказанной теоремы на первом уроке.

случае, если определены параллельные плоскости, в которых лежат прямые, часто трудно найти расстояние между ними –необходимо еще провести третью перпендикулярную плоскость

Для решения проблемы достаточно провести эту плоскость перпендикулярно к одной из прямых!

BM. Из точки B опустим на неё перпендикуляр BK.

A

B

C

M

D

K

N

По теореме о трех перпендикулярах DK ⊥ AK и треугольник DBK ⊥ треугольнику ADK , в которой лежит прямая AD.

Прямая BM находится на расстоянии BN от плоскости ADK, равном длине перпендикуляра BN к DK!

DBK и длину DK.

SDBK =a2/4, DK=√5∙a/2, BN=2⋅ SDBK /DK BN=a/ √5

то последний способ часто оказывается решающим.

A

B

M

D

Идея этого приема связана с двумя дополнительными объектами: а) плоскостью, в которой лежит одна из прямых. б) перпендикуляром к ней, через который проходит вторая прямая.

Запомните последнюю картинку!

проводим прямую параллельно BM

A

B

M

D

Второй этап: из точки B опустим перпендикуляр до пересечения с прямой AE

E

K

Третий этап: в прямоугольном треугольнике DBK опустим перпендикуляр BN на DK. Его длина и будет равна расстоянию между прямыми AD и BM

N

друг к другу?

Через точку N проводим прямую параллельно BM до пересечения с прямой AD в точке L (в плоскости треугольника ADK).

A

B

M

D

E

K

Прямоугольный треугольник DBK переносим параллельно вдоль прямой на отрезок NL. Новые положения точек B и N будут ближайшими друг к другу точками прямых AD и BM

N

L

на ребрах AD и D1C взяты точки K и M, соответственно. Найдите расстояние между прямыми A1K и D1M, если AK=4 и DM=3.

M

K

E

H

N

Решение. Через точку E пересечения A1K c D1D проведем прямую || D1M. Из точки D1 на неё опустим перпендикуляр до пересечения в точке F. Высота D1N треугольника A1D1F и дает искомое расстояние.

F

A1F=10/√3. SA1D1F=25/(2√3). D1N=2⋅SH1D1F/A1F=25/10=5/2.

Оценка ответа на смысл. D1N=2,5