Слайд 2Задача 10.У 25 ребят спросили, сколько в среднем часов в день
они смотрят телевизор. Вот что получилось:
Определите : а) размах; б) моду;
в) среднее арифметическое выборки; г) постройте многоугольник частот,
и укажите на нем данные
из пунктов а)-в).
Слайд 4Задача 11.Деталь по плану должна
весить 431г.
Контроль при взвешивании
2000 деталей
дал такие результаты:
а) составьте таблицу распределения
частот в процентах;
б) постройте многоугольник частот
(для удобства из всех вариант
вычтите по 431);
в) каков процент деталей, вес которых отличается от планового
не более, чем на 2г.
Слайд 6Задача 12.
В таблице приведены данные опроса, который проводился среди девятиклассников,
о количестве детей в их семьях.
Какова доля многодетных семей (то есть имеющих 3 и более детей) среди опрошенных?
Слайд 7Решение. Чтобы найти долю многодетных семей, поделим количество многодетных семей на
их общее количество:
Ответ: 0,14.
Слайд 8Задача 13.
Перед вами итоговая таблица группового этапа лиги чемпионов 2009/2010
годов в группе С.
(И – количество игр, В – выигрышей, Н – ничьих,
П – поражений, Гз – забитых голов, Гп – пропущенных голов, О – набранных очков).
Сколько голов забивалось в среднем за одну игру в этом турнире?
Слайд 9
Решение. Чтобы найти среднее количество голов за игру, нужно поделить общее
количество голов на количество игр. Каждая команда сыграла по 6 игр, всего команд – 4, в каждой игре участвовало 2 команды, поэтому количество игр равно
Чтобы найти количество голов, нужно сложить числа в столбце «Гз» или «Гп» (но не то и другое вместе!):
15 + 8 + 10 + 5 =38. Среднее количество голов за игру равно
Ответ: 3
1
6
1
6
Слайд 10Задача 14.
В таблице указано количество книг, прочитанных каждым из учеников
за летние каникулы:
Найдите среднее арифметическое, медиану и моду этого набора чисел.
Слайд 11
Решение. Среднее арифметическое
Чтобы найти медиану, числа нужно упорядочить:
0, 1, 3,
5, 6, 8, 8, 10. Количество чисел четно, поэтому нужно взять среднее арифметическое двух чисел, стоящих в центре: медиана
Мода – это число, которое повторяется чаще остальных, то есть 8.
Ответ: 5,125; 5,5; 8.
5
Слайд 12Задача 15.
Ученик засекал в течение недели время, которое он тратит
на дорогу в школу и из школы.
На сколько минут в среднем дорога из школы дольше дороги в школу?
Слайд 13
Решение 1. Найдем среднюю продолжительность дороги в школу, затем - среднюю
продолжительность дороги из школы и найдем их разность
23,5 – 20,5 = 3.
Ответ: 3.
Слайд 14 Решение 2. Найдем ежедневную разность между дорогой из школы
и в школу, а затем вычислим среднее арифметическое этих разностей.
Ответ: 3.
Слайд 15Задача 16.
В течение четверти Таня получила следующие отметки
по физике:
одну «2»;
шесть «3»;
три «4»;
и пять»5»
Найдите среднее арифметическое и моду её оценок.
Слайд 16
Решение. Каждую из оценок нужно взять в том количестве, сколько раз
она повторялась! Среднее арифметическое
чаще всего повторяется оценка «3», поэтому мода равна 3.
Ответ: 3,8; 3.
Слайд 17Задача 17.
Президент компании получает зарплату 100 000 р.
в месяц, четверо
его заместителей получают по 20 000 р., а 20 служащих компании – по 10 000 р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании.
Слайд 18
Решение. Как и в предыдущей задаче, каждую зарплату нужно взять с
её кратностью. Среднее арифметическое
Чтобы найти медиану, представим, что все 25 зарплат выписаны по возрастанию. Тогда в середине, очевидно, окажутся зарплаты по 10 000 рублей, поэтому медиана равна 10 000.
Ответ: 15 200; 10 000.
Слайд 19Задача 18.
Какое из следующих утверждений неверно:
1) если набор состоит из одинаковых
чисел, то его размах равен 0;
2) если набор состоит из одинаковых чисел, то его среднее арифметическое и медианы равны;
3) если размах набора равен 0, то он состоит из одинаковых чисел;
4) если среднее арифметическое и медиана набора равны, то он состоит из одинаковых чисел.
Слайд 20
Решение. Любой симметричный ряд обладает таким свойством, например: 1, 2, 3,
4, 5. Среднее арифметическое и медиана равны 3.
Ответ: неверно утверждение 4.
Слайд 21Задача 19.
Средний возраст участников школьного хора составляет
14 лет. Каких участников
в хоре больше: старше 14 лет или младше 14 лет?
Слайд 22Ответ: невозможно ответить по этим данным. Возможны все три ситуации, например,
12, 14, 15, 15 больше тех, кто старше 14; 13, 13, 14, 16 – больше тех, кто младше 14; 13, 14, 15 – поровну.
Слайд 23Многоугольник распределения кратностей
Кратность
11 варианты
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Варианта
Рис. 1
Слайд 24Многоугольник распределения частот
Частота
варианты
0,75
0,5
0,25
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Варианта
Рис. 2
Слайд 25Задача 20.
В классе 40 учеников. Во время урока
физкультуры они разбиты на три группы: школьники из первой группы играют в баскетбол, из второй – в футбол, а третья группа занимается легкой атлетикой. Информация о числе школьников в этих группах содержится в следующей круговой диаграмме.
С помощью транспортира определите число школьников в каждой группе.
Слайд 26Решение. Угол сектора диаграммы, соответствующего второй группе (футбол), очевидно, равен 180°.
Он составляет
развернутого угла. Поэтому в футбол играет половина всех школьников, то есть 20 человек.
Угол сектора диаграммы, соответствующего первой группе (баскетбол), равен 36°. Он составляет
развернутого угла. Поэтому в баскетбол играет десятая часть всех школьников, то есть 4 человека. Оставшиеся школьники, 40 – 20 – 4 = 16 человек, занимаются легкой атлетикой. Это же число можно получить из нашей диаграммы. Угол сектора диаграммы, соответствующего третей группе (легкая атлетика), равен 144° Он составляет развернутого угла.
Поэтому занимаются легкой атлетикой всех школьников, то есть х 40 = 16 человек.
2
5
2
5
Слайд 27Задача 21.
Владелец газетного киоска решил выяснить, кто чаще
покупает газеты – мужчины или женщины. Для этого он в течение недели ежедневно фиксировал общее количество газет, купленных мужчинами, и общее число газет, купленных женщинами. Результаты этого статистического исследования показаны на столбчатой диаграмме.
Слайд 28
1) Сколько газет купили женщины в понедельник?
2)
Сколько газет купили мужчины в пятницу?
3) Представьте данные о продажах в виде таблицы.
4) Владелец киоска думает, что женщины покупают газеты чаще, чем мужчины. Подтверждают ли данные о продажах это мнение?
Слайд 30
Задача 22.
По заданию учителя в ноябре школьник проводил
метеорологические наблюдения и, в частности, записывал температуру воздуха на улице. Часть его результатов приведена в таблице.
Какой день из указанных был самым холодным?
Какова была температура воздуха на улице в этот день?
Каким является это значение температуры в ряду значений температур – наибольшим или наименьшим?
Найдите размах температур за период с 3 по 12 ноября.
Слайд 31Решение.
Самым холодным было 10 ноября, когда температура была
равна - 10°. Это значение температуры является наименьшим в ряду чисел -5 , -4, -5, -7, -8, -9, -6, -10, -6, -2.
Самым «теплым» было 12 ноября, когда температура была равна - 2°. Размах набора чисел – это разность между наибольшими и наименьшими числами из этого набора. В нашем случае размах равен (-2) – (-10) = 8 (градусов)
Слайд 32Задача 23.
Контрольную работу по математике писали 32 школьника.
Из них 5 человек получили оценку «5», 11 человек – оценку «4», 13 человек – оценку «3», а остальные – «2». Заполните до конца следующую таблицу
и подсчитайте средний балл за контрольную.
Слайд 34
Поэтому таблица с данными примет следующий вид.
Слайд 35Задача 24.
Среднее арифметическое числового набора равнялась 10, медиана 12, размах
5. Все числа набора умножали на 3, после чего прибавили к каждому из них 5.
Чему стали равны среднее арифметическое, медиана, размах полученного набора?
Слайд 36Решение. После умножения на 3 все характеристики тоже умножились на 3:
30, 36, 15. После прибавления 5 среднее арифметическое и медиана увеличились на 5 а размах не изменился: 35, 41, 15
Ответ: 35; 41; 15.
Слайд 37Задача 25.
Завод по производству CD-дисков в течение рабочей недели (5 дней)
проводил проверку качества своей продукции. Для этого ежедневно тестировалось 200 случайно отобранных дисков. В каждый из пяти дней было обнаружено соответственно 8, 12, 5 , 7, 10 бракованных дисков.
Сколько бракованных дисков можно ожидать в партии из
10 000 дисков?
Слайд 38Решение. Найдём долю бракованных дисков среди всех отобранных:
8+12+5+7+10 = 42 =
0,042.
200·5 1000
В партии из 10 000 дисков следует ожидать 10000·0,042=420 бракованных.
Ответ: 420
Слайд 39Задача 26.
В таблице показаны средний балл и количество участников выпускного экзамена
в каждой из 5 школ города.
Найдите средний балл выпускного экзамена по всему городу
Слайд 40Решение. Что бы найти средний балл по городу нужно взять средний
балл по каждой школе с кратностью, равной числу её выпускников
60·60+54·70+68·30+72·50+54·70 = 16800 = 60
60+70+30+50+70 280
Ответ: 60.
Слайд 41Задача 27.
Поезда прибывали на станцию метро со
следующими интервалами:
2 мин. 8 с;
1 мин. 58 с;
2 мин. 10 с;
1 мин. 57 с;
2 мин. 12 с.
Найдите среднее арифметическое и медиану интервалов движения поездов.
Слайд 42Решение. Исходный набор не совсем числовой: каждый интервал выражен в смешанных
единицах – минутах и секундах. Переведём все интервалы в секунды:
128, 118, 130, 117, 132.
Теперь найдём среднее в секундах:
128+118+130+117+132 = 625 = 125 с.
5 5
Можно снова перейти к смешанным единицам: среднее арифметическое равно 2 мин. 5 с. Медиана равна 2 мин. 8 сек.
Ответ: 2 мин. 5 с; 2 мин. 8 с.
Слайд 43Задача 28.
Средний возраст 11 игроков футбольного клуба «Динамо», вышедших
на игру составил 26 лет. После замены одного из игроков средний возраст уменьшился и стал равен 25. На сколько лет игрок вышедший на замену, младше игрока, ушедшего с поля?
Слайд 44Решение. Если обозначить через x возраст игрока, ушедшего с поля, а
через y – вышедшего на замену, то разность средних арифметических до замены и после будет равна
x-y. По условию задачи эта разность равна 26-25=1
11
Отсюда x-y=11
Ответ: 11
Слайд 45Задача 29.
Числовой набор состоит из всех двухзначных нечётных чисел: 11,
13, 15,…, 97, 99
Найдите его среднее арифметическое и медиану.
Слайд 46Решение. Данный набор образует арифметическую прогрессию с первым членом 11 и
разностью 2. Всего в наборе 45 чисел. Посередине на 23-м месте находится число 55 (23-й член прогрессии)
Сумму всех чисел набора можно найти как сумму арифметической прогрессии:
11+99 · 50=2750.
2
Отсюда среднее арифметическое равно
2750 = 55; медиана равна 55.
50
Ответ: 55; 55.
Слайд 47Задача 30.
Средний рост в 9 «А» классе
составляет 156 см, а медиана 154 см. Какое из следующих утверждений справедливо?
1) В классе обязательно есть ученик с ростом 156 см.
2) В классе обязательно есть ученик с ростом 154 см.
3) В классе обязательно есть ученик с ростом менее 154 см.
4) В классе обязательно есть ученик с ростом более 156 см.
Слайд 48Решение. Чтобы показать, что утверждения 1-3 не обязательно должны выполнятся, приведём
соответствующие примеры:
1) 154, 154, 160;
2) 153, 153, 155, 163;
3) см. пример для 1).
А вот утверждение 4) будет выполнено: если в классе нет учеников выше 156 см, то их средний рост может равняться 156 см только в том случае, если все они имеют такой рост. Но тогда и медиана будет равна 156 а не 154.
Ответ: справедливо утверждение 4
Слайд 49Задача 31.
При каких значениях a в числовом
наборе 1, 2, 3, 4, а
а) медиана будет равняться 3?
б) среднее арифметическое будет равняться 3?
в) среднее арифметическое будет совпадать с медианой?
а=5. 1+2+3+4+а = 3, откуда а=5;
5
в) а=0; а=2,5; а=5. Медиана приведённого числового набора равна:
2 при а≤2, а при 2<а<3, 3 при а≥3 Среднее арифметическое равно:
1+2+3+4+а .
5
Получаем 3 уравнения с соответствующими условиями на а:
1+2+3+4+а = 2 (а≤2);
5
1+2+3+4+а = а (2<а<3);
5
1+2+3+4+а = 3 (а≥3).
5
Их корни и будут ответом.
Слайд 51Задача 32.
Три девятых класса писали итоговую контрольную работу по
математике. После выставления оценок были посчитаны числовые характеристики полученных числовых наборов и занесены в таблицу.
Очевидно, что полностью восстановить по этим данным невозможно. А можно ли определить, в каких классах были двойки а в каких не было?
Слайд 52Решение. Объясним ответ для каждого класса.
9 «А»: если размах 3,
то обязательно были 2 и 5.
9 «Б»: поскольку размах 2, то все оценки лежат либо от 2 да 4, либо от 3 до 5. (Причём концы диапазонов обязательно присутствуют.) Для диапазона от 2 до 4 среднее не может равняться 4, поэтому лежат
от 3 до 5.
9 «В»: поскольку размах 2, то все оценки лежат либо от 2 до 4, либо
От 3 до 5 (Причём концы диапазонов обязательно присутствуют.) Предположим, что это диапазон от 2 до 4; тогда четвёрок должно больше половины всех оценок (ведь 4 - медиана, а пятёрок в этом случает нет вообще), но тогда 3 не может быть модой – пришли к противоречию. Значит все оценки лежат от 3 да 5.
Ответ: 9 «А» - были, 9 «Б» и 9 «В» - не было.
Слайд 53Задача 33.
Из урожая картофеля, собранного на одной из
опытных делянок, случайным образом было отобрано 25 клубней, в которых подсчитывалось число глазков. Результат оказался следующий:
6, 9, 5, 10, 7, 9, 8, 10, 9, 10, 8, 11, 9, 12, 9, 10, 8, 10, 11, 9, 10, 9, 8, 7, 11.
Требуется построить вариационный ряд, столбчатую диаграмму (вариант; частота), полигон относительных частот.
Слайд 54Решение. Чтобы разобраться в этих данных, расположим из в порядке возрастания
числовых значений признака, т.е. ранжируем таким образом, чтобы посчитать, сколько раз каждая варианта (хi) встречается в данной совокупности. Получим ряд: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12. Так как признак варьирует в пределах от 5 до 12 единиц, то вариационный ряд представим следующим образом:
Тогда столбчатая диаграмма имеет вид:
Слайд 55
Для построения полигона сначала вычислим относительные частоты, и их значения представим
в следующей таблице.
На основании полученных данных строим полигон относительных частот (частностей):
Относительные
частоты
Количество глазков в картофеле
Слайд 56Задача 34.
Осуществляя в 10 пробирках реакцию этерификации
между этиловым спиртом (С2Н5ОН) и уксусной кислоты (СН3СООН), лаборант получил в каждой из них этилацетат (СН3СООС2Н5), причём массы эфира в пробирках соответственно равны (в граммах): 2,5; 4; 3; 4,5; 3; 5; 2,5; 4; 4; 5. Определите среднее значение массы эфира в проведённых опытах.
Слайд 57Решение. Для начала проранжируем
данный ряд: 2,5; 2,5; 3; 3; 4;
4; 4; 4; 5; 5; 5.
Тогда хв = 2,5·2+3·2+4·3+4,5·1+5·2 = 3,75 г.
10
Ответ: 3,75 г.
Слайд 58Задача 35.
Специалист страховой компании подготовил отчёт
о результатах работы компании за прошедший день. В частности, в отчёте говорится, что за день было заявлено 5 страховых случаев, и средний размер ущерба составил 6258 руб. Он уже собирался сдать отчёт руководителю своего отдела, как ему
сообщили о двух новых страховых случаях: на 5216 руб. и на 12074 руб.
Определите новый размер
ущерба.
Слайд 59Решение. Общая сумма ущерба по пяти страховым случаям равна 5 х
6258=31290 руб. С учётом только что заявленных случаев, общая сумма потерь компании по всем семи страховым случаем равна 31290+5216+12074=48580 руб. Поэтому новое значение среднего ущерба равно
48580 = 6940 руб.
7
Ответ: 6940 рублей.
Слайд 60Задача 36. Торговая компания хочет понять сколько денег тратят её
покупатели
за один визит в магазин. Первые 32 чека выбиты на
следующие суммы (в руб.):
108; 54; 62; 74; 40; 38; 85; 92; 64; 25; 80; 143; 50; 63; 38; 79; 155; 28; 61; 83; 62;
42; 76; 47; 70; 83; 35; 192; 140; 52; 64; 88.
Компанию не интересует точная сумма S, указанная в чеке; для неё покупки
делятся на мелкие (10≤S<50), средние (50≤S<100), крупные (100≤S<200). При этом компания имеет в виду, что никто из её покупателей не тратит меньше
10 рублей и (за крайне редким исключением) больше 200 рублей.
1) Заполните следующею таблицу
Во 2 столбце отмечайте каждую покупку чёрточкой формируя у них квадрат с
диагоналями: так фигура - символизирует 2 покупки, - 4 покупки, а
фигура Х - 6 покупок.
Слайд 612) Какие покупки, мелкие, средние или крупные, делаются чаще всего?
3) Что
можно сказать о среднем размере покупки на основе данных этой
таблицы (не используя исходные данные о точной сумме каждой покупки)?
Слайд 62Решение.
1) Таблица с результатами подсчётов выглядит следующим образом.
2) Из этой таблицы
ясно видно, что наиболее распространены средние покупки.
3) Про сумму S одной мелкой покупки мы знаем лишь то что 10≤S<50. Про общую сумму
Sм, потраченную на 8 мелких покупок, мы можем сказать лишь то что 80≤Sм<400.
Аналогично, относительно общей суммы Sс , потраченных на все 19 средних покупок
мы можем сказать лишь то, что 950≤Sс<1900, а про общую сумму Sк , потраченную на все
5 крупных покупок, мы можем сказать лишь то, что 500≤Sк<1000. Складывая три этих
неравенства, для общих расходов Sобщ= Sм+Sс+Sк мы получим двойное неравенство:
1530≤Sобщ<3300. Средняя сумма одной покупки равна Sобщ
32
На основе данных таблицы мы можем утверждать лишь то, что эта величина находится в
пределах от 1530 ≈ 47 руб. 81 коп. до 3300 ≈ 103 руб. 13 коп.
32 32
Слайд 63Задача 37. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. Учительница задала
каждому ученику
20 задач на сложение двузначных чисел в уме. В таблице 1 приведены результаты этого
теста для мальчиков, а в таблице 2 - для девочек.
Слайд 64 Подсчитайте среднее число правильно решённых задач одним
мальчиком и среднее число правильно решённых задач одной девочкой, а также размах числа правильно решённых задач мальчиками и девочками.
Можно ли с помощью этих результатов определенно сказать, кто лучше считает в уме – мальчики или девочки?
Слайд 65Среднее число правильно решённых задач одним мальчиком равно:
х= 15+12+8+16+14+11+17+7+16+20+15+14 = 165
= 13,75.
12 12
Среднее число правильно решённых задач одной девочкой равно:
y= 17+15+14+16+13+17+16+12+14+16 = 150 = 15.
10 10
Для мальчиков наибольшее число правильно решённых задач равно 20, а наименьшее равно 7. Поэтому для мальчиков размах числа правильно решённых задач равен 20-7=13.
Для девочек наибольшее число правильно решённых задач равно 17, а наименьшее равно 12. Поэтому для девочек размах числа правильно решённых задач равен 17-12=5.
Таким образом, для девочек среднее число правильно решённых задач одним человеком больше чем для мальчиков. Кроме того, значения размахов показывают, что результаты девочек разбросаны гораздо меньше, то есть более стабильны. Поэтому разумно сделать вывод, что девочки этого класса лучше считают в уме, чем мальчики.
Слайд 67Задача 1. В первый ящик положили
5 мобильников,
а во второй
– 3 мобильника.
Сколькими способами можно вытащить
один мобильник?
Решение.
Из 1 ящика можно вытащить
пятью способами, а из 2 – тремя способами.
Всего существует 5+3 = 8 способов.
Ответ: 8.
Слайд 69Задача 2. В первом ящике
5 мобильников с зеленым корпусом,
а
во втором – 3 мобильника
с красным корпусом.
Сколькими способами можно вытащить один зеленый и один красный мобильник?
Решение.
Зеленые мобильники можно выбрать
пятью способами, красные – тремя способами.
Всего 1 зеленый и 1 красный можно выбрать
3 · 5 = 15 способами.
Ответ: 15.
Слайд 71Задача 3. Сколько не более чем трехзначных чисел можно составить из
цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы цифры в числах
не повторялись?
Слайд 72 Решение.
Надо узнать, сколько можно составить
однозначных, двузначных или трехзначных чисел.
По правилу суммы их будет N = N1+N2+N3.
Однозначных чисел будет 5, значит, N1 = 5.
На месте десятков двузначных чисел можно поставить
любую из пяти цифр.
После каждого такого выбора на месте единиц
можно поставить любую из четырех оставшихся цифр,
т.к. цифры в числе не должны повторяться.
По правилу произведения N2 = 5·4 = 20.
Рассуждая аналогично,
получим число различных трехзначных чисел
N3 = 5· 4· 3 = 60.
Следовательно, N = 5+20+60 = 85.
Слайд 73Задача 4.В одной вазе лежит
5 яблок,
а в другой
-8 мандаринов.
Сколькими способами можно выбрать:
а) яблоко или мандарин;
б) яблоко и мандарин?
Слайд 74а) N = 5+8 = 13
б) N = 5· 8
= 40
Ответ:13; 40.
Слайд 75Задача 5.Ученик должен выполнить
практическую работу
по математике.
Ему предложили на выбор
17
тем по алгебре и 13 тем
по геометрии.
Сколькими способами он может выбрать одну тему
для практической работы?
Слайд 77Задача 6.В танцевальном кружке
5 мальчиков и 4 девочки.
Руководитель хочет отобрать пару, состоящую из
1 мальчика и 1 девочки
для участия в соревнованиях.
Сколько он должен
посмотреть пар, чтобы выбрать
лучшую пару?
Слайд 79Задача 7. Имеется 5 билетов
денежно-вещевой лотереи,
6 билетов спортлото
и
10 билетов автомотолотереи.
Сколькими способами
можно выбрать 1 билет
из спортлото
или автомотолотереи?
Слайд 80 Денежно-вещевая лотерея в выборе
не участвует, поэтому
10+6=16
Ответ: 16.
Слайд 81Задача 8.Сколько имеется путей,
которыми
можно попасть
из города А в
город С
через город В, если из А в В ведут
две дороги,
а из В и С – три дороги?
Слайд 83Задача 9.На книжной полке стоят
25 книг по математике,
15 –
по физике,
10 – по астрономии.
Сколькими способами можно
выбрать
3 книги так, чтобы одна книга
была по математике,
другая – по физике
и третья – по астрономии?
Слайд 84N = 25· 15· 10 = 3750
Ответ: 3750.
Слайд 85Задача 10.Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Слайд 86Решение.
Составим таблицу: слева от первого столбца – первые цифры искомых чисел,
а выше первой строки – вторые цифры этих чисел (учитывая, что числа – четные, т.е. оканчиваются на 0,2,4).
5 строк · 3 столбика = 15 чисел
Ответ: 15.
Слайд 87Задача 11.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4,7, если цифры
в числе не повторяются?
Решение.
При использовании правила умножения применяют схему –
дерево возможных вариантов.
Двузначное число
1 цифра числа
2 цифра числа
1
4
7
7 1 7 1 4
14,17 41,47 71,74
Ответ: 6.
Слайд 89Задача 12.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс,
а запить их он может кофе, соком или кефиром.
Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
Составим таблицу.
3 строки · 4 столбика = 12 вариантов завтрака
Ответ: 12.
Слайд 91 Задача13.Сколько двузначных чисел
можно записать
в десятичной системе
счисления?
столбиков = 90 чисел
Ответ: 90.
Слайд 93Задача14.Служитель зоопарка должен дать зайцу
2 различных овоща.
Сколькими способами
он может
это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?
Слайд 94Завтрак зайца
1 овощ
М С К
2 овощ С К М К М С
Варианты МС, МК, СМ, СК, КМ, КС
6 вариантов, но блюда МС и СМ,
МК и КМ, КС и СК совпадают, поэтому
3 пары блюд
Ответ: 3.
Слайд 95Задача15.Туристическая фирма планирует посещение туристами
в Италии трех городов:
Венеции,
Рима и Флоренции.
Сколько существует вариантов
такого маршрута?
В Р Ф
2 город Р Ф В Ф В Р
3 город Ф Р Ф В Р В
Варианты ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ ФВР, ФРВ
Ответ: 6.
Слайд 97Задача16.Несколько стран
в качестве символа своего государства
решили использовать флаг
в
виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине,
но разных по цвету:
белый, синий, красный.
Сколько стран могут использовать
такую символику при условии,
что у каждой страны свой,
отличный от других,
флаг?
Слайд 99Задача17.В коридоре висят
три лампочки.
Сколько различных способов
освещения коридора?
1 способ. По правилу умножения:
N = 2· 2· 2 = 8
2 способ. + горит, - не горит
+++
++-
+-+
+--
-++
---
-+-
--+
Ответ: 8.
Слайд 101Задача 18.Сколько различных пятизначных чисел можно составить
из цифр 1,2,3,4,5 при
условии,
что ни одна цифра в числе
не повторяется?
Р5 = 5! = 1· 2· 3· 4 ·5 = 120
Ответ: 120.
Слайд 103Задача19.В соревнованиях участвовало 4 команды.
Сколько вариантов
распределения мест между ними
возможно?
Слайд 104Р4 = 4! = 1· 2· 3· 4 = 24
Ответ: 24.
Слайд 105Задача 20.Сколькими способами можно расположить
на шахматной доске
8 ладей так,
чтобы они не могли взять
друг друга?
Слайд 106 Р8= 8!=1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8
= 40320
Ответ: 40320.
Слайд 107Задача 21.Сколькими способами
можно разместить 12 человек
за столом,
возле которого
поставлены
12 стульев?
Слайд 108Р12 = 12! = 479001600
Ответ: 479001600.
Слайд 109Задача 22.Сколькими способами
7 книг разных авторов
можно расставить на полке
в один ряд?
Слайд 111Задача 23.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при
условии, что ни одна
из них не повторяется?
Решение.
Т.к. двузначные числа отличаются друг от друга
или самими цифрами, или их порядком,
то искомое количество равно
числу размещений из пяти элементов по два:
А²5 = 5· 4 = 20
Ответ: 20.
Слайд 113Задача 24.У нас есть 9 книг
из серии
«Занимательная математика».
Сколькими
способами можно подарить 3 из них?
А9 = 9! = 504
(9-3)!
Ответ: 504.
Слайд 115Задача 25.Сколько существует вариантов
распределения трех призовых мест,
если в розыгрыше участвуют
7
команд?
Слайд 117Задача 26.Сколько вариантов расписания
можно составить на один день,
если всего имеется
8
учебных предметов,
а в расписании на день
могут быть включены
только три из них?
8
Слайд 119Задача 27.Сколько вариантов распределения
трех путевок в санатории
различного профиля
можно
составить
для пяти претендентов?
Слайд 121Задача 28.В городе проводится
первенство по футболу.
Сколько в нем состоится
матчей,
если участвуют
12 команд?
Слайд 123Задача 29.Сколько
различных музыкальных фраз
можно составить
из 6 нот,
если не допускать
в одной фразе
повторения звуков?
Слайд 124 Музыкальные фразы отличаются
одна от другой или нотами, или их порядком.
Считаем, что фортепиано имеет 88 клавиш.
6
А88 = 88! = 390190489920
(88-6)!
Ответ: 390190489920.
Слайд 125Задача 30.Сколько сигналов можно подать
5 различными флажками,
поднимая их в любом количестве
и
в произвольном порядке?
3 4 5
А5+А5+А5+А5+А5= 5! + 5! + 5! + 5! + 5! = 325
(5-1)! (5-2)! (5-3)! (5-4)! (5-5)!
Ответ: 325.
Слайд 127Задача 31.В тренировках участвовали
12 баскетболистов.
Сколько различных стартовых пятерок
может образовать
тренер?
Слайд 128 5
С12 = 12! = 7!·8·9·10·11·12
= 792
(12-5)!·5! 7!·1·2·3·4·5
Ответ: 792.
Слайд 129Задача 32.Сколькими способами
можно заполнить
лотерейный билет
«5 из 36»?
31!·32·33·34·35·36 = 376992
(36-5)!5! 31!·1·2·3·4·5
Ответ: 376992.
Слайд 131Задача 33.Сколькими способами читатель
может выбрать
2 книжки из 6 имеющихся?
Слайд 132 2
С6 = 6! = 5·6 = 15
4!2! 2
Ответ:15.
Слайд 133Задача 34.Сколькими способами можно
составить дозор
из трех солдат и одного офицера,
если имеется
80 солдат и 3 офицера?
1
С80 · С3 = 80! · 3! = 77!·78·79·80·3! = 246480
(80-3)!3! (3-1)!1! 77!·3!·2!
Ответ: 246480.
Слайд 135Задача 35.Сколькими способами можно
выбрать двух человек в президиум,
если на собрании присутствует
78
человек?
2
С78 = 78! = 76!·77·78 = 3003
(78-2)!·2! 76!·1·2
Ответ: 3003.
Слайд 137Задача 36.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?
Решение.
Т.к. порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться,
то будут размещения с повторениями из 5 элементов по 3,
а их число равно
~3 3
А5 = 5 = 125
Ответ: 125.
Слайд 139Задача 37. В кондитерском магазине продают 4 сорта пирожных: эклеры, песочные,
бисквитные и слоеные.
Сколькими способами можно купить
7 пирожных?
Слайд 140Решение.
Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают пирожные в
коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.
~7
С4 = (7+4-1)! = 10! = 120
7!(4-1)! 7!3!
Ответ: 120.
Слайд 141Задача 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?
Слайд 142Решение.
Всего 6 букв. Одинаковые буквы
n«а» = 3, n«н» = 2, n«с»
= 1.
Р6(3,2,1) = 6! = 60
3!2!1!
Ответ: 60.
Слайд 143Задача 39. Семь девушек водят хоровод.
Сколькими способами они могут встать
в круг?
Слайд 144Решение.
Если бы девушки стояли на месте, то их было бы
Р7 =
7! = 5040.
Но т.к. танцующие кружатся, то их положение относительно окружающих не имеет роли,
важно лишь взаимное расположение, т.е.перестановки, переходящие друг в друга.
Но из каждой перестановки можно получить еще 6 путем вращения - 7 мест
5040 : 7=720 различных перестановок девушек в хороводе.
Р(вр.7) = (7-1)! = 720
Ответ: 720.
Слайд 145Задача 40.Сколко ожерелий
можно составить
из 7 бусинок?
Решение.
Ожерелье можно не только вращать, но и перевернуть.
Р(вр.и пов.) = (n-1)!
2
Р7 = (7-1)! = 6! = 720 = 360
2 2 2
Ответ: 360.
Слайд 147Задача 41.На сувениры в «Поле Чудес»
спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты,
духи.
Сколькими способами
9 участников игры могут получить
эти сувениры?
Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов
для участников игры?
9
1) А4 = 4 = 262144
~9
2) С4 = (9+4-1)! = 12! = 220
9!(4-1)! 9!3!
Ответ: 262144; 220.
Слайд 149Задача 42.Сколько перестановок
можно сделать из букв
слова
«Миссисипи»?
Слайд 150 Всего букв в слове 9. Одинаковые буквы
n«м»=1, n«и»=4, n«с»=3, n«п»=1
Р9(1,4,3,1) = 9! = 2520
1!4!3!1!
Ответ: 2520.
Слайд 151Задача 43.В книжный магазин поступили
романы Ф.Купера
«Прерия», «Зверобой», «Шпион»,
«Пионеры», «Следопыт»
по одинаковой
цене.
Сколькими способами
библиотека
может закупить 17 книг
на выбранный чек?
Слайд 152~17
С5 = (17+5-1)! = 21! = 5985
17!(5-1)! 17!4!
Ответ: 5985.
Слайд 153Задача 44.Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита
и трех
цифр.
Сколько различных номеров
автомашин
можно составить?
~ 3 ~3 3 3
А33· А10 = 33·10 = 35937000
Ответ: 35937000.
Слайд 155 Используемая литература:
1.А.Н.Мордкович,П.В.Семенов.
События. Вероятности. Статистическая
обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.общеобразоват.учреждений.-
3-е изд. – М.:Мнемозина,2005.
2.А.Г.Климова,И.Н.Данкова,О.П.Малютина.
Элективный курс для профильного обучения.
(10-11 классы). Начала теории вероятностей
с элементами комбинаторики и математической статистики.- Воронеж: ВОИПКРО,2006.
3.Журнал «Математика в школе» №5, №6, №7, 2011.
4.Учебно-методическая газета «Математика» №1, №7, 2008 ; №15, 2009.