Презентация, доклад по теме Квадратичная функция и функция, содержащая переменную под знаком модуля

модуля

под знаком модуля.
Свойства функции y=|x|.
Функции вида y=|f(x)|.
Функции вида y=f(|x|).
Функции, частично содержащие знак модуля.
Задачи

элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y, причем y=f(x).
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у - зависимая переменная или функция.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Их обозначают буквой D(f) или D(y) .
Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Их обозначают буквой E (f) или E(y).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Функции бывают четные и нечетные. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат

числа, причем a≠0, называется квадратичной.
Область определения этой функции - множество R действительных чисел.
График квадратичной функции - парабола.
Ветви параболы направлены вверх при а>0 и вниз при а<0.
Функция y=x2 – непрерывная, четная.
Координаты вершины параболы: (m;n), m=-b/2a, n=-D/4a .
Прямая x=m является осью симметрии графика квадратичной функции.
Любая квадратичная функция представима в виде f(x)=a(x-m)²+n
График этой функции вы видите на рисунке.

= 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

a>0(ветви параболы направлены вверх) и:
D>0(уравнение имеет 2 различных решения)
D=0 (уравнение имеет 2 одинаковых решения)
D<0 (уравнение не имеет решений)
Если a<0(ветви параболы направлены вниз) и:
D>0 (уравнение имеет 2 различных решения)
D=0 (уравнение имеет 2 одинаковых решения)
D<0 (уравнение не имеет решений)

лягушонка совсем не сложно, нужно лишь построить 15 графиков и выбрать для них определенный интервал.

x при x≥0
|x|=
-x при x<0
Область определения этой функции - множество R  действительных чисел.
Существуют функции содержащие модуль вида:
1. y=|f(x)|
2. y=f(|x|)
3. функции, частично содержащие модуль.

график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  лежат над осью абсцисс.
3.Множеством значений функции
y = |x|  является промежуток [0;+∞).
4. График функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).
5.На промежутке [0;+∞) функция
y = |x|  возрастает.
6.На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.
7. Наименьшее значение функция прини-мает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

функции f(x), а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость.
Полученная в верхней полуплоскости кривая и будет графиком функции y=|f(x)|

функции y=f(x), затем оставить ту часть графика, которая соответствует неотрицательной части области определения функции y=f(x).
Отразив эту часть графика симметрично относительно оси y, получим график функции y=f(|x|).

аргумент одновременно со знаком модуля и без него. Прежде чем построить графики таких функций, необходимо предварительно раскрыть знак модуля и выполнить построение на отдельных интервалах.
y=|x|+2x y=|x3|+2x
3x при х ≥0 x3+2x при х ≥0
y= y=
х при х<0 -х3+2x при х<0
получаем график y=|x|+2x получаем график y=|x3|+2x

бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки.

Задача Лейбница о трактрисе (собачьей кривой)

она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского.

снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Ученые доказали, что тело движется по параболе. Если при заданной начальной скорости снаряда менять угол , то получится бесконечное множество парабол. Все параболы, для которых 45° ≤ а ≤ 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение
y= 1/2(gV² −V ² g x ²).

Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.

зеркал

По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду. Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно. Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису. Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг».

если b=0, f(x)=0, если
b>0, |f(x)| ⬄ f(x)=b
f(x)=-b
f(x)=g(x)
|f(x)|=|g(x)| ⬄ f(x)=-g(x)
f(x)=g(x)
|f(x)|=g(x) ⬄ g(x)=0
f(x)=-g(x)
g(x)=0

не имеет решений
2)|f(x)|>b – x (-∞; +∞)
f(x)При b≥0 1)|f(x)|-b
f(x)>b
2) |f(x)|>b ⬄ f(x)<-b