Слайд 1Решение банковских задач ЕГЭ по математике
Козина Наталья Алексеевна
МБОУ «Саскалинская СОШ»
Слайд 2Что необходимо знать при решении задач на проценты:
1% от числа А
= 1/100 А
За 100% принимается та величина, с которой сравнивают.
3. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, необходимо количество процентов разделить на 100.
4. Если число Х увеличили на р%, то получим: Х(1 + 0,01р);
5. Если число Х уменьшили на р%, то получим: Х(1- 0,01р);
6. Если величину Х дважды увеличили на р%, получим: Х(1 + 0,01р)2;
7. Если величину Х дважды уменьшили на р%, получим: Х(1 – 0,01)2
8. Если величину Х увеличили на р% N количество раз, то получим:
Х(1 + 0,01р)N;
9. Если величину Х сначала увеличили на р%, а затем уменьшили на к%, получим: Х(1+0,01р)(1-0,01k).
Слайд 3Словарик:
Аннуитетная схема – все платежи единого размера на протяжении всего периода
выплат.
Дифференцированная схема – к концу платёжного периода платежи становятся небольшими.
Транш – платёж (перевод денег).
Слайд 4Задачи на погашение кредита равными долями
Пусть размер кредита S.
Процент банка равен
а%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х.
Тогда через год после начисления процентов и выплат суммы Х размер долга равен: S(1 + 0,01а) – Х
Обозначим р = 1 + 0,01а – множитель оставшегося долга
Тогда через 2 года размер долга составит: (Sp – X)p – X
Через 3 года: ((Sp – X)p – X)р – х
Через 4 года: (((Sp – X)p – X))р – Х)р – Х
Через n лет Spn – X(pn – 1 + …р3 + р2 + р + 1)
Слайд 5Задачи на погашение кредита по дифференцированной схеме
Наибольший платёж- это первый платёж
Наименьший
платёж- это последний платёж.
А - первоначальная сумма кредита (основной долг)
n - период (количество месяцев, лет)
р – процентная ставка (годовая ставка)
S - сумма платежей за определенный период
Основная формула S% = Ap· (n+1)/2
n = 2S% / Ap – 1
р = 2S% / (A(n + 1)
A = 2S% / p(n + 1)
Слайд 6Типы задач на проценты:
Нахождение ежегодного платежа.
Нахождение количества лет выплаты кредита (начислений
по вкладу).
Нахождение суммы кредита.
Вычисление процентной ставки по кредиту.
Слайд 7Нахождение ежегодного платежа
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9
930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение:
1,1(1,1 (1,1S – x) – х) – х = 0 S = 9 930 000
1,331S – 3,31х = 0
х = 3 993 000 Ответ: 3 993 000
Слайд 8Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита
1 июня 2013 года Всеволод Ярославович
взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?
Решение:
Ответ: 4 месяца
Слайд 9Нахождение суммы кредита
В июле 2016 года Тимур планирует взять кредит в банке
на четыре года в размере S млн р., где S — целое число. Условия его возврата следующие:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат Тимура будет меньше 30 млн р.
Слайд 10Решение:
Сумма выплат:
0,45S+0,305S+0,375S+0,23S=1,36S
1,36S < 30 млн
S < 30:1,36
S < 22,0
S=22 млн. руб
Ответ: 22 млн.руб.
Слайд 11Вычисление процентной ставки по кредиту
15-го января был выдан полугодовой кредит на
развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Слайд 12Решение:
Пусть х – долг 15-го числа текущего месяца
у – долг 15-го числа предыдущего месяца
тогда 1,05у – долг в конце предыдущего месяца, после увеличения на 5%,
1,05у – х - выплата в первой половине текущего месяца
В процентах от суммы кредита выплаты составят:
В феврале: 1,05 · 100 – 90 = 15%
В марте: 1,05 · 90 – 80 = 14,5%
В апреле: 1,05 ∙ 80 – 70 = 14%
В мае: 1,05 ∙ 70 – 60 = 13,5%
В июне: 1,05 ∙ 60 – 50 = 13%
В июле: 1,05 ∙ 50 – 0 = 52,5%
Общая сумма выплат: 15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52,5 = 122,5%
Разность: 122,5% - 100% = 22,5%
Ответ: 22,5%
Слайд 13Вычисление процентной ставки по кредиту
31 декабря 2013 года Игорь взял в
банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?