Презентация, доклад по математике 9 класс Сумма n-первых членов геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Основные формулы

?

Тест

Тест

Ответы

Магницкий Леонтий Филлипович
– русский математик и педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве, автор первого в России учебного пособия по математике

Магницкий Л.Ф.
1669-1739)

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
«Если ,по-твоему, цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.»
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько проторговался покупатель?

Решение:

Проблема: Как вычислить? Нельзя ли решить эту задачу
проще? Можно ли вывести формулу для решения
данной задачи?

Легенда о геометрической прогрессии

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне столько зёрен риса, сколько получиться в сумме, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно риса. На вторую клетку - 2 зерна, на третью - 4, на четвертую - 8, на пятую - 16, на шестую -32,…, увеличивая число зёрен каждый раз вдвое.

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с рисом

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета?
Мог ли индусский царь выполнить желание Сеты?
Об этом ты узнаешь чуточку позже.
А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен риса, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.
Получается последовательность:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,….

Или ,где

Нужно найти

Решение

/ ∙ 2

Сгруппируем в этих равенствах одинаковые слагаемые и
вычтем из второго равенства первое, получим

Решение

Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

18 446 744 973 709 551 615

Основные формулы

?

Применение геометрической прогрессии при решении задач практического содержания:

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?
Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на 2 части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток?