Валентина Анатольевна Огородник
МАОУ «СОШ № 14» г. Соликамск, Пермский край
(равносильные замены в неравенствах)
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по алгебре и началам анализа на тему Метод рационализации при решении логарифмических неравенств ( 11 класс)
Содержание
- 1. Презентация по алгебре и началам анализа на тему Метод рационализации при решении логарифмических неравенств ( 11 класс)
- 2. Определение логарифма Логарифмом положительного числа
- 3. Слайд 3
- 4. Идея решения неравенств . . .1)
- 5. Квадратные неравенства
- 6. Неравенства с «изюминкой»
- 7. Основной способ решения
- 8. Формулы для преобразования
- 9. с числом в основании логарифмаПРИМЕР. log
- 10. обе части неравенства приводят к логарифму
- 11. Логарифмическое неравенство
- 12. Слайд 12
- 13. П р о б л е м
- 14. Обоснование метода рационализации при
- 15. Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
- 16. Определите знак логарифма:1) log 3 72)
- 17. Решите неравенства: 1) log x ( x
- 18. Рационализация по правилу log h
- 19. Рационализация по правилу log h
- 20. Рационализация в неравенстве С 3
- 21. Обоснование метода рационализации при
- 22. Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
- 23. Два способа решения логарифмического неравенства с числом
- 24. Неравенство с переменной в основании логарифма
- 25. Решение предыдущего неравенства
- 26. У Р А ! Ф И З М И Н У Т К А !
- 27. Слайд 27
- 28. Многократная рационализация по правилам:
- 29. Пример применения
- 30. Таблица равносильных замен
- 31. Алгоритм решения неравенства
- 32. Пример применения метода рационализации в неравенстве
- 33. Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
- 34. Не забудьте про ОДЗ! Б О Н
- 35. Б О Н У С № 1
- 36. Комбинированное неравенство5*) | х +
- 37. Б О Н У С № 2
- 38. БОНУС № 3 УМНИКАМДля любителей
- 39. Метод рационализации в неравенствах
- 40. Из истории метода рационализации
- 41. З а к л ю ч е
- 42. ЛОГАРИФМю б о з н а т
- 43. Список литературыДемонстрационные варианты ЕГЭ
- 44. П Р И Л О Ж Е Н И Я
- 45. Примеры для решения логарифмических неравенств
- 46. Комбинированные неравенства для тренинга:1*) log |x
- 47. Комбинированные неравенства для тренинга:4*) log 2
- 48. Высказывание о логарифмах
- 49. Вычисление знака логарифмаСтандартные способы:сравнить log 3
- 50. Способы решения
- 51. Теорема о равносильных заменах
- 52. Теорема о равносильных заменах
- 53. Задания с логарифмами:упростите выражение,найдите значение выражения,найдите знак
- 54. Формулы для преобразования
- 55. Метод интервалов
- 56. Пример решения рационального неравенства
- 57. Неравенства вида 1)
Определение логарифма Логарифмом положительного числа в по положительному основанию а ( а ≠ 1 ), называется показатель степени с,
Слайд 1Метод рационализации
при решении логарифмических неравенств
Слайд 2Определение логарифма
Логарифмом положительного числа в
по положительному основанию а ( а ≠ 1 ), называется показатель степени с, в которую возводят а для получения в;
т.е . log a в = c а с = в,
где основание а > 0, а ≠ 1,
подлогарифмическое выражение в > 0,
логарифм (показатель) с – любое число.
Слайд 4Идея решения неравенств . . .
1)
иррациональное
2) показательное
3) логарифмическое
2) показательное
3) логарифмическое
З а м е н а данного неравенства равносильным рациональным неравенством
с учётом монотонности функции и ОДЗ аргумента!
Слайд 5 Квадратные неравенства
х 2 –
5 х + 6 V 0 ( < , ≤ , > , ≥ )
х 2 – 5 х + 6 = 0
D = 25 – 24 = 1; x 1 = 2, x 2 = 3
1) х 2 – 5 х + 6 ≤ 0
2) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) < 0
3) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) ≥ 0
4) х 2 – 5 х + 6 > 0
х 2 – 5 х + 6 = 0
D = 25 – 24 = 1; x 1 = 2, x 2 = 3
1) х 2 – 5 х + 6 ≤ 0
2) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) < 0
3) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) ≥ 0
4) х 2 – 5 х + 6 > 0
x є ( 2; 3 )
2
3
х
–
+
+
x є ( - ∞; 2 ]; [ 3; + ∞ )
x є [ 2; 3 ]
x є ( - ∞; 2 ); ( 3; + ∞ )
Слайд 6Неравенства с «изюминкой»
● х 2 ≥ 0
● х 2 > 0
● х 2 ≤ 0
● х 2 < 0
2) ● | х | ≥ 0
● | х | > 0
● | х | ≤ 0
● | х | < 0
● х 2 > 0
● х 2 ≤ 0
● х 2 < 0
2) ● | х | ≥ 0
● | х | > 0
● | х | ≤ 0
● | х | < 0
х є ( - ∞; 0 ); ( 0; + ∞ )
x є R
x = 0
решений нет
x є R
х ≠ 0
x = 0
ø
Какая разница в решениях примеров 1) и 2) ?
у = х 2
у = |х|
Слайд 7Основной способ решения
логарифмических неравенств –
п о т е н ц и р о в а н и е,
т. е. приведение левой и правой частей неравенства к логарифму с одинаковым основанием
с последующим отбрасыванием логарифмов (с учётом монотонности функции и области допустимых значений аргумента)
Слайд 8Формулы для преобразования
выражений с логарифмами
1)
2)
3)
4)
5)
ОДЗ:
a > 0
а ≠ 1
b > 0
c > 0
b ≠ 1
Слайд 9 с числом в основании логарифма
ПРИМЕР. log 2/5 ( 3 x
+ 6 ) – log 2/5 ( 7 – x ) ≤ 0,
log 2/5 ( 3 x + 6 ) ≤ log 2/5 ( 7 – x ),
логарифмическая функция с основанием 2/5 является монотонно-убывающей, поэтому 3x + 6 ≥ 7 – x 4х ≥ 1 х ≥ 1/4; х є ( - 2; 7 ), в итоге х є [ 1/4; 7 ). Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
Использовали м о н о т о н н о с т ь функции !
log 2/5 ( 3 x + 6 ) ≤ log 2/5 ( 7 – x ),
логарифмическая функция с основанием 2/5 является монотонно-убывающей, поэтому 3x + 6 ≥ 7 – x 4х ≥ 1 х ≥ 1/4; х є ( - 2; 7 ), в итоге х є [ 1/4; 7 ). Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
Использовали м о н о т о н н о с т ь функции !
Логарифмическое неравенство
ОДЗ: 3 х + 6 > 0
7 – х > 0
Слайд 10обе части неравенства приводят к логарифму
с одним основанием;
освобождаются от знаков логарифма, состав-ляя совокупность двух систем неравенств: при основании а > 1 и при а є ( 0; 1 );
при этом учитывается характер монотонности логарифмической функции и ОДЗ аргумента;
3) ответом является объединение решений двух систем неравенств.
освобождаются от знаков логарифма, состав-ляя совокупность двух систем неравенств: при основании а > 1 и при а є ( 0; 1 );
при этом учитывается характер монотонности логарифмической функции и ОДЗ аргумента;
3) ответом является объединение решений двух систем неравенств.
Традиционный способ решения неравенства
с переменной в основании логарифма:
Слайд 11
Логарифмическое неравенство
с переменной в основании логарифма
ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0,
log х + 6 ( 2 х – 5 ) ≤ log х + 6 ( х + 4 ).
Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) 0 < х + 6 < 1 или 2) х + 6 > 1
2 х – 5 ≥ х + 4 2 х – 5 ≤ х + 4
2 х – 5 > 0 2 х – 5 > 0
х + 4 > 0 х + 4 > 0
х є ( - 6; - 5 ) х > - 5
х ≥ 9 решений х ≤ 9
х > 2,5 нет х > 2,5
х > - 4 х > - 4
х є ( 2,5; 9 ].
ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
Использовали м о н о т о н н о с т ь функции !
Слайд 12
log 3 – x ( x + 4 ) – log 3 – x ( 3 – x ) 2 ≥ – 2 log 3 – x ( x + 4 ) – 2 ≥ – 2 log 3 – x ( x + 4 ) ≥ 0
log 3 – x ( x + 4 ) ≥ log 3 – x 1
log 3 – x ( x + 4 ) ≥ log 3 – x 1
Пример из Демо-
версии ЕГЭ – 2014.
а) 0 < 3 – х < 1 ↓
х + 4 ≤ 1
х + 4 > 0
или
б) 3 – х > 1 ↑
х + 4 ≥ 1
х + 4 > 0
– 1 < х – 3 < 0
х ≤ – 3
х > – 4
х < 2
х ≥ – 3
х > – 4
2 < х < 3
х ≤ – 3 решений нет
х > – 4
х є [ – 3; 2 )
х < 2
х ≥ – 3
Ответ: х є [ – 3; 2 ).
Слайд 13П р о б л е м а !
«Нельзя ли решить
неравенство с переменной
в основании логарифма
и под знаком логарифма
п р о щ е, не составляя совокупности двух систем?»
в основании логарифма
и под знаком логарифма
п р о щ е, не составляя совокупности двух систем?»
Слайд 14Обоснование метода рационализации при
решении логарифмического неравенства по правилу
log h f > 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) > 0 на ОДЗ
ПРИМЕР. log h f > 0 log h f > log h 1
h > 1 ↑
f > 1
О Д З
0 < h < 1 ↓
f < 1
О Д З
h – 1 > 0
f – 1 > 0
О Д З
h – 1 < 0 и h > 0
f – 1 < 0
О Д З
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) > 0
О Д З
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) > 0
О Д З
или
или
или
П о л у ч и л и о д и н а к о в ы й р е з у л ь т а т !
Слайд 15Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
1) если логарифмическое неравенство
имеет вид
log h f V 0,
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
О
Д
З
Так определяют
з н а к логарифма!
Слайд 16Определите знак логарифма:
1) log 3 7
2) log 3 1/7
3)
log 1/3 1/7
4) log 1/3 7
5) а) log x ( x – 3 ) > 0 б) log x ( x – 3 ) < 0
4) log 1/3 7
5) а) log x ( x – 3 ) > 0 б) log x ( x – 3 ) < 0
( 3 – 1 ) ( 7 – 1 ) > 0
( 3 – 1 ) ( 1/7 – 1 ) < 0
( 1/3 – 1 ) ( 1/7 – 1 ) > 0
( 1/3 – 1 ) ( 7 – 1 ) < 0
( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) > 0
х > 0
х ≠ 1
х – 3 > 0
( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) < 0
х > 0
х ≠ 1
х – 3 > 0
Слайд 17Решите неравенства:
1) log x ( x – 3 ) >
0 2) log x ( x – 3 ) < 0
( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) > 0
х > 0
х ≠ 1
х – 3 > 0
( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) < 0
х > 0
х ≠ 1
х – 3 > 0
( х – 1 ) ( х – 4 ) > 0
х > 0
х ≠ 1
х > 3
( х – 1 ) ( х – 4 ) < 0
х > 0
х ≠ 1
х > 3
х < 1 или х > 4
х > 3
1 < х < 4
х > 3
Ответ: х > 4.
Ответ: х є ( 3; 4 ).
Слайд 18Рационализация по правилу
log h f ≤ 0
( h – 1 ) · ( f – 1 ) ≤ 0 на ОДЗ.
ПРИМЕР. log 3 + x ( x – 7 ) ≤ 0
( ( 3 + x ) – 1 ) · ( ( x – 7 ) – 1 ) ≤ 0
( x + 2 ) ∙ ( x – 8 ) ≤ 0
х є [ - 2; 8 ];
● ОДЗ: 3 + х > 0 ● итак, х є [ - 2; 8 ],
3 + х ≠ 1 х > 7; х > 7;
х – 7 > 0 поэтому х є ( 7; 8 ].
Ответ: х є ( 7; 8 ].
ПРИМЕР. log 3 + x ( x – 7 ) ≤ 0
( ( 3 + x ) – 1 ) · ( ( x – 7 ) – 1 ) ≤ 0
( x + 2 ) ∙ ( x – 8 ) ≤ 0
х є [ - 2; 8 ];
● ОДЗ: 3 + х > 0 ● итак, х є [ - 2; 8 ],
3 + х ≠ 1 х > 7; х > 7;
х – 7 > 0 поэтому х є ( 7; 8 ].
Ответ: х є ( 7; 8 ].
Слайд 19
Рационализация по правилу
log h f ≥ 0
( h – 1 ) · ( f – 1 ) ≥ 0 на ОДЗ.
ПРИМЕР. log ( x – 3 ) ( 7 x + 5 ) ≥ 0
( ( х – 3 ) 2 – 1 ) · ( ( 7 x + 5 ) – 1 ) ≥ 0 на ОДЗ
( ( x – 3 – 1 ) ∙ ( x – 3 + 1 ) ) ∙ ( 7 x + 4 ) ≥ 0 | : 7
( х – 4 ) ∙ ( х – 2 ) ∙ ( х + 4/7 ) ≥ 0 х є [ - 4/7; 2 ]; [ 4; + ∞ );
● ОДЗ: ( х – 3 ) 2 > 0 х ≠ 3
( х – 3 ) 2 ≠ 1 х ≠ 2; х ≠ 4
7 х + 5 > 0 х > - 5/7
● итак, х є [ - 4/7; 2]; [ 4; + ∞ ),
х є [ - 5/7; 2); ( 2; 3 ); ( 3; 4 ); ( 4; + ∞ ).
Ответ: х є [ - 4/7; 2 ); ( 4; + ∞ ).
ПРИМЕР. log ( x – 3 ) ( 7 x + 5 ) ≥ 0
( ( х – 3 ) 2 – 1 ) · ( ( 7 x + 5 ) – 1 ) ≥ 0 на ОДЗ
( ( x – 3 – 1 ) ∙ ( x – 3 + 1 ) ) ∙ ( 7 x + 4 ) ≥ 0 | : 7
( х – 4 ) ∙ ( х – 2 ) ∙ ( х + 4/7 ) ≥ 0 х є [ - 4/7; 2 ]; [ 4; + ∞ );
● ОДЗ: ( х – 3 ) 2 > 0 х ≠ 3
( х – 3 ) 2 ≠ 1 х ≠ 2; х ≠ 4
7 х + 5 > 0 х > - 5/7
● итак, х є [ - 4/7; 2]; [ 4; + ∞ ),
х є [ - 5/7; 2); ( 2; 3 ); ( 3; 4 ); ( 4; + ∞ ).
Ответ: х є [ - 4/7; 2 ); ( 4; + ∞ ).
2
х є ( - 5/7; 2 );
( 2; 3 ); ( 3; 4 );
( 4; + ∞ );
Слайд 20
Рационализация в неравенстве С 3
из Демоверсии
ЕГЭ - 2014 от 31 октября 2013 года
Ответ: х є [ – 3; 2 )
Ответ: х є [ – 3; 2 )
а) ОДЗ: 3 – х > 0
3 – х ≠ 1
( х + 4 ) / ( х – 3 ) 2 > 0
б)
log 3 – x ( x + 4 ) – log 3 – x ( 3 – x ) 2 ≥ – 2,
log 3 – x ( x + 4 ) – 2 ≥ – 2,
log 3 – x ( x + 4 ) ≥ 0;
по методу рационализации:
( ( 3 – х ) – 1 ) ∙ ( ( х + 4 ) – 1 ) ≥ 0,
( х – 2 ) ∙ ( х + 3 ) ≤ 0,
х є [ - 3 ; 2 ] (**);
х < 3
х ≠ 2
х є ( - 4 ; 3 ); ( 3; + ∞ )
х є ( - 4; 2 ); ( 2; 3 ) (*);
в) х є ( - 4 ; 2 ); ( 2; 3 ) (*)
х є [ - 3 ; 2 ] (**)
х є [ - 3 ; 2 ).
Слайд 21Обоснование метода рационализации при
решении логарифмического неравенства по правилу
log h f – log h g > 0 ( h – 1 ) · ( f – g ) > 0 на ОДЗ
ПРИМЕР. log h f – log h g > 0 log h f > log h g
h > 1 ↑
f > g
О Д З
0 < h < 1 ↓
f < g
О Д З
h – 1 > 0
f – g > 0
О Д З
h – 1 < 0 и h > 0
f – g < 0
О Д З
( h – 1 ) ∙ ( f – g ) > 0
О Д З
( h – 1 ) ∙ ( f – g ) > 0
О Д З
или
или
или
П о л у ч и л и о д и н а к о в ы й р е з у л ь т а т !
Слайд 22Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
2) если логарифмическое неравенство
имеет вид
( log h f – log h g ) V 0,
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – g ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
g > 0
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – g ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
g > 0
О
Д
З
Слайд 23
Два способа решения логарифмического неравенства с числом в основании логарифма
с
монотонностью функции:
log 2/5 (3x + 6) – log 2/5 (7 – x) ≤ 0
log 2/5 (3x + 6) ≤ log 2/5 (7 – x)
т.к. логарифмическая функция с основанием 2/5 является монотонно-убывающей, то 3 x + 6 ≥ 7 – x 4 х ≥ 1 х ≥ 1/4; ОДЗ: х є ( - 2; 7 ), поэтому х є [ 1/4; 7 ).
Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
log 2/5 (3x + 6) – log 2/5 (7 – x) ≤ 0
log 2/5 (3x + 6) ≤ log 2/5 (7 – x)
т.к. логарифмическая функция с основанием 2/5 является монотонно-убывающей, то 3 x + 6 ≥ 7 – x 4 х ≥ 1 х ≥ 1/4; ОДЗ: х є ( - 2; 7 ), поэтому х є [ 1/4; 7 ).
Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
с рационализацией:
log h f – log h g ≤ 0 (h – 1) · (f – g) ≤ 0 на ОДЗ.
log 2/5 ( 3x + 6 ) – log 2/5 ( 7 – x ) ≤ 0
( 2/5 – 1 ) · ( (3x + 6) – (7 – x) ) ≤ 0
- 3/5 · (4х – 1) ≤ 0
4х – 1 ≥ 0
х ≥ 1/4;
ОДЗ: х є ( - 2; 7 ), поэтому
х є [ 1/4; 7 ).
Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
Слайд 24
Неравенство с переменной в основании логарифма
Н е р а в е н с т в а
log h f – log h g ≤ 0 и ( h – 1 ) · ( f – g ) ≤ 0
р а в н о с и л ь н ы на О Д З.
ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0
( ( х + 6 ) – 1 ) · ( ( 2 х – 5 ) – ( х + 4 ) ) ≤ 0
х + 6 > 0
х + 6 ≠ 1
2 х – 5 > 0 х + 4 > 0
( х + 5 ) ∙ ( х – 9 ) ≤ 0 х є [ - 5; 9 ]
х > 2,5 х > 2,5 х є ( 2,5; 9 ]. х ≠ - 5
Использовали р а ц и о н а л и з а ц и ю ! ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0
( ( х + 6 ) – 1 ) · ( ( 2 х – 5 ) – ( х + 4 ) ) ≤ 0
х + 6 > 0
х + 6 ≠ 1
2 х – 5 > 0 х + 4 > 0
( х + 5 ) ∙ ( х – 9 ) ≤ 0 х є [ - 5; 9 ]
х > 2,5 х > 2,5 х є ( 2,5; 9 ]. х ≠ - 5
Использовали р а ц и о н а л и з а ц и ю ! ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
о
д
3
Слайд 25
Решение предыдущего неравенства
без рационализации
ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0,
log х + 6 ( 2 х – 5 ) ≤ log х + 6 ( х + 4 ).
Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) 0 < х + 6 < 1 или 2) х + 6 > 1
2 х – 5 ≥ х + 4 2 х – 5 ≤ х + 4
2 х – 5 > 0 2 х – 5 > 0
х + 4 > 0 х + 4 > 0
х є ( - 6; - 5 ) х > - 5
х ≥ 9 решений х ≤ 9
х > 2,5 нет х > 2,5
х > - 4 х > - 4
Использовали м о н о т о н н о с т ь ! ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
х є ( 2,5; 9 ].
С
Р
А
В
Н
И
Т
Е
С
П
Р
Е
Д
Ы
Д
У
Щ
И
М
!
Слайд 28 Многократная рационализация по правилам:
log h f V 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) V 0 на ОДЗ и ( log h f – log h g ) V 0 ( h – 1 ) · ( f – g ) V 0 на ОДЗ
4) log ( 5 x – 2 ) ≥ 0 Ответ: (0,4; 0,5); (1; + ∞)
а) ( log x 2x – 1 ) (5 х – 2 – 1 ) ≥ 0 б) ОДЗ:
( log x 2x – log x x ) ( 5х – 3) ≥ 0
( х – 1) ( 2х – х ) ( 5х – 3 ) ≥ 0 5 х – 2 > 0
х ( х – 1 ) ( х – 0, 6 ) ≥ 0 х > 0
х ≠ 1
0 0,6 1 х 2 х > 0
х є [ 0; 0,6 ]; [ 1; + ∞ ) (*) х є ( 0,4; 0,5 ); (1; + ∞) (**)
в) пересечение множеств (*) и (**).
log x 2x
–
+
+
–
log x 2x > 0
log x 2x ≠ 1
Слайд 29Пример применения
метода рационализации
в неравенстве с функциями разных классов
6*) (log 2 ( 2 х + 1 ) – log 2 ( х + 2 )) ∙ (|х| – |х – 2|)
√ 3 х – 2 – √ 2 х – 1
≤ 0
Д р о б ь !
Л о г а р и ф м ы !
М о д у л и !
Р а д и к а л ы !
Слайд 30Таблица равносильных замен
в некоторых неравенствах
№ Дано Замена Условие
1. √ f – √ g f – g
2. | f | – | g | ( f – g ) · ( f + g )
3. h f – h g ( h – 1 ) · ( f – g )
4. log h f – log h g ( h – 1 ) · ( f – g )
f, g – функции от х; h – функция или число
ОДЗ: f ≥ 0
g ≥ 0
ОДЗ: h > 0
h ≠ 1
f > 0
g > 0
n
n
h > 0 и h ≠ 1
Слайд 31Алгоритм решения неравенства
методом рационализации
Выписать условия, задающие ОДЗ аргумента, решить полученное неравенство (или систему неравенств).
Привести данное неравенство к стандартному виду для его решения методом рационализации (справа – ноль, слева –множители, содержащие разности функций одного класса), при этом слева может быть дробь.
3) Заменить (можно многократно) все множители с разностями функций одного класса на более простые, совпадающие по знаку с исходными, по правилам равносильных замен.
4) Решить полученное рациональное неравенство, например, методом интервалов.
5) Записать ответ для исходного неравенства с учётом ОДЗ.
Н Е З А Б У Д Ь Т Е О С А М О К О Н Т Р О Л Е !
Слайд 32Пример применения метода рационализации
в неравенстве с функциями разных классов
6)
(log 2 ( 2 х + 1 ) – log 2 ( х + 2 )) ∙ (|х| – |х – 2|)
√ 3 х – 2 – √ 2 х – 1
а) ((2 – 1) ∙ ((2х + 1) – (х + 2))) ∙ ((х + х – 2) ∙ (х – х + 2))
(3 х – 2) – (2 х – 1 )
( х – 1 ) ∙ (( 2х – 2 ) ∙ 2)
х – 1
б) ОДЗ: 2х + 1 > 0 х > - 1/2 в) х < 1 (*)
х + 2 > 0 х > - 2
3х – 2 ≥ 0 х ≥ 2/3 х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *)
2х – 1 ≥ 0 х ≥ 1/2
х ≠ 1 х ≠ 1
х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *) ; Ответ: [ 2/3; 1 ).
√ 3 х – 2 – √ 2 х – 1
а) ((2 – 1) ∙ ((2х + 1) – (х + 2))) ∙ ((х + х – 2) ∙ (х – х + 2))
(3 х – 2) – (2 х – 1 )
( х – 1 ) ∙ (( 2х – 2 ) ∙ 2)
х – 1
б) ОДЗ: 2х + 1 > 0 х > - 1/2 в) х < 1 (*)
х + 2 > 0 х > - 2
3х – 2 ≥ 0 х ≥ 2/3 х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *)
2х – 1 ≥ 0 х ≥ 1/2
х ≠ 1 х ≠ 1
х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *) ; Ответ: [ 2/3; 1 ).
≤ 0
≤ 0
≤ 0
х – 1 < 0
х < 1 (*);
х є [ 2/3; 1 ).
Слайд 33Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
3) если логарифмическое неравенство
имеет вид
( log h f + log h g ) V 0,
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 / g ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
g > 0
то оно равносильно системе рациональных неравенств
( h – 1 ) ∙ ( f – 1 / g ) V 0
h > 0
h ≠ 1
f > 0
g > 0
О
Д
З
Слайд 34
Не забудьте про ОДЗ!
Б О Н У С № 1
УМНИКАМ
1 способ. Без рационализации
log x 19 – log x + 1 19 ≤ 0, к логарифму с основан. 19.
Ответ на следующем слайде!
2
Далее метод интервалов:
1) нули числителя и знаменателя
отметить на числовой прямой,
2) расставить на промежутках
знаки для выражения в левой
части,
3) выделить промежутки со
знаком «минус».
Слайд 35Б О Н У С № 1 УМНИКАМ
Неравенство
log x 19 – log x + 1 19 ≤ 0
2 способ. С рационализацией по правилу
( log f h – log g h ) V 0
( f – 1 ) ∙ ( g – 1 ) ∙ ( h – 1 ) · ( g – f ) V 0
на ОДЗ
Ответ: х є
2 способ. С рационализацией по правилу
( log f h – log g h ) V 0
( f – 1 ) ∙ ( g – 1 ) ∙ ( h – 1 ) · ( g – f ) V 0
на ОДЗ
Ответ: х є
2
Слайд 36Комбинированное
неравенство
5*) | х + 1 | – √ 5
– 2 х – 2 х 2
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
≤ 0.
3
Смотри таблицу равносильных замен !
? ? ?
Слайд 37Б О Н У С № 2 УМНИКАМ
5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
Замена в числителе:
( х + 1 ) 2 – ( 5 – 2 х – 2 х 2 )
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – √ х
Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √11 – 1 ) : 2 ]
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
Замена в числителе:
( х + 1 ) 2 – ( 5 – 2 х – 2 х 2 )
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – √ х
Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √11 – 1 ) : 2 ]
≤ 0.
3
≤ 0
3
3
3
Слайд 40Из истории метода рационализации
при решении неравенств
Метод известен более 50 лет
под названиями:
метод декомпозиции,
метод замены множителей,
обобщённый метод интервалов,
метод рационализации.
Слайд 41З а к л ю ч е н и е
1)
Подробно рассмотрен метод рационализации при решении
логарифмических неравенств двух видов, когда с нулём
сравнивается или логарифм, или разность логарифмов.
логарифмических неравенств двух видов, когда с нулём
сравнивается или логарифм, или разность логарифмов.
2) Сформулированы правила рационализации при решении
некоторых видов неравенств иррациональных, показатель-
ных, с модулями, комбинированных.
3) Основное преимущество метода рационализации состоит в
том, что при решении отсутствует необходимость использо-
вания монотонности входящих в неравенства функций.
4) Рационализация позволяет сокращать время на решение не-
равенств с переменной в основании логарифма, т.к. при этом
способе не нужно составлять совокупность двух систем не-
равенств (иногда одна из систем не имеет решений).
Слайд 42Л
О
Г
А
Р
И
Ф
М
ю б о з н а т е л ь н
ы е
к т и в н ы е
н и ц и а т и в н ы е
о л о д ы е, н о м у д р ы е !
б а я т е л ь н ы е
е н и а л ь н ы е
а з у м н ы е
е н о м е н а л ь н ы е
Слайд 43Список литературы
Демонстрационные варианты ЕГЭ
(сайт ФИПИ в Интернете).
2. Лысенко Ф.Ф., Калабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: решаем задания С3 методом рационализации: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 32 с.
3. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 400 с.
4. Шестаков С.А. Замени функцию. Научно-практический журнал «Математика для школьников» № 4 – 2005 г., стр. 17-21. – М.: Изд-во Школьная Пресса.
2. Лысенко Ф.Ф., Калабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: решаем задания С3 методом рационализации: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 32 с.
3. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 400 с.
4. Шестаков С.А. Замени функцию. Научно-практический журнал «Математика для школьников» № 4 – 2005 г., стр. 17-21. – М.: Изд-во Школьная Пресса.
Слайд 45 Примеры для решения логарифмических неравенств методом рационализации
1) log 2x + 1 (4 x – 5) ≤ 0. Ответ: х є ( 5/4; 3/2 ]
2) log 3x + 1 (4 x – 6) < 0. Ответ: 3/2 < х < 7/4
3) log 2 – x (x + 2) · log x + 3 (3 – x) ≤ 0. Ответ: (-2; -1]; (1; 2)
4) log (5 x – 2) ≥ 0. Ответ: (0,4; 0,5); (1; + ∞)
5) 2 log 5 (x 2 – 5 x) Ответ: х є (-∞; -1); (-1; 0); (5; 6]
log 5 x 2
≤ 1.
log x 2x
Слайд 46Комбинированные неравенства для тренинга:
1*) log |x + 2| ( 4
+ 7 x – 2 x 2 ) ≤ 2.
Ответ: ( - 0,5; 0 ]; [ 1; 4 )
2*) 4 – (0,5)
5 х – 1
Ответ: ( - ∞; - 5/2 ]; ( 0; 1/2 ]
3*) log x/3 ( log x √3 – x ) ≥ 0.
Ответ: √13 – 1
2
Ответ: ( - 0,5; 0 ]; [ 1; 4 )
2*) 4 – (0,5)
5 х – 1
Ответ: ( - ∞; - 5/2 ]; ( 0; 1/2 ]
3*) log x/3 ( log x √3 – x ) ≥ 0.
Ответ: √13 – 1
2
х 2 + 3 х – 2
2 х 2 + 2 х – 1
≤ 0.
; 2 )
Слайд 47Комбинированные неравенства для тренинга:
4*) log 2 ( 3 ∙ 2
х – 1 – 1 )
Ответ: ( log 2 2/3; 0 ); [ 1; + ∞ )
5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √ 11 – 1 ) : 2 ]
Ответ: ( log 2 2/3; 0 ); [ 1; + ∞ )
5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
√ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √ 11 – 1 ) : 2 ]
≤ 0.
≥ 1.
3
х
Слайд 48Высказывание о логарифмах
С точки
зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десяти-чной системой нумерации.
Я.В. Успенский
Я.В. Успенский
Слайд 49Вычисление знака логарифма
Стандартные способы:
сравнить log 3 7 с 0 =
log 3 1, используя монотонность функции у = log 3 х;
2) вычислить значение логариф-ма с переходом к новому основанию:
log 3 7 = = (из таблицы) = > 0;
3) построить график функции у = log 3 х, затем для х = 7 найти значение у, т.е. значение логарифма
2) вычислить значение логариф-ма с переходом к новому основанию:
log 3 7 = = (из таблицы) = > 0;
3) построить график функции у = log 3 х, затем для х = 7 найти значение у, т.е. значение логарифма
С применением метода рационализации
log h f V 0
( h – 1 ) · ( f – 1 ) V 0
в ОДЗ
log 4 2/3 < 0, т.к.
( 4 – 1 ) · ( 2/3 – 1 ) < 0.
lg 7
lg 3
0, 85
0, 5
+
–
Слайд 50 Способы решения
логарифмических неравенств:
1) по определению логарифма,
2) разложением на множители,
3) заменой переменных,
4) потенцированием,
5) логарифмированием,
6) с использованием свойств и графиков функций.
При этом учитываются монотонность функции и область допустимых значений аргумента!
Слайд 51Теорема о равносильных заменах
при решении неравенств
Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции u(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции v(x), то неравенства
u (х) > 0 (1) и v (х) > 0 (2) равносильны.
Слайд 52Теорема о равносильных заменах
при решении неравенств
Это означает следующее:
если одна из функций u(x) или v(x) имеет более простой вид, то при решении неравенств
вида u (х) > 0 (1) или v (х) > 0 (2)
выбирают наиболее простое, решаемое часто методом интервалов.
log h f – log h g и ( h – 1 ) · ( f – g ) на ОДЗ – пример пары функций (слева – u(х), справа – v (х))
Слайд 53Задания с логарифмами:
упростите выражение,
найдите значение выражения,
найдите знак логарифма,
сравните значения выражений,
постройте график функции,
решите уравнение (систему уравнений),
решите неравенство (систему неравенств),
найдите область определения (область значений) функции
и т. д.
Слайд 54Формулы для преобразования
выражений с логарифмами
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) число , n є R
ОДЗ:
a > 0
а ≠ 1
c > 0
c ≠ 1
b > 0
Слайд 55Метод интервалов
для рациональных неравенств
С помощью метода интервалов решают рациональные неравенства вида Р(х) · М(х) · . . . · N(x) V 0 или вида Р(х) : М(х) V 0, содержащие многочлены от х. Здесь знаком V обозначены знаки: > ; < ; ≥ ; ≤ .
Алгоритм решения неравенства методом интервалов: 1) находят нули многочленов в левой части неравенства;
отмечают их на числовой прямой светлыми или тёмными
кружками; 2) определяют знаки выражения, находящегося в левой части
неравенства, на каждом промежутке; 3) отбирают промежутки, соответствующие знаку неравенства;
записывают ответ. П р о в е р к а !
Слайд 56Пример решения рационального неравенства
методом интервалов
х 2 · ( х 2 – 5 х + 4 ) · ( 9 – х 2 ) ∙ ( х 6 + 1 ) ≤ 0.
1) Находим нули выражения в левой части неравенства:
х 1, 2 = 0; х 3 = 1; х 4 = 4; х 5 = - 3; х 6 = 3;
отмечаем нули на числовой прямой тёмными кружками
– + + – + –
- 3 0 1 3 4 х
2) определяем знаки выражения в левой части неравенства на каждом промежутке;
отбираем промежутки со знаком « – » (по знаку неравенства);
записываем ответ: х є ( - ∞; - 3 ]; { 0 }; [ 1; 3 ]; [ 4; + ∞).
Слайд 57 Неравенства вида
1)
Ответ: ( - 4; - 3 ]; ( 3; 4 )
2)
3)
4)
2)
3)
4)
Ответ: [ - 5; - 4 ); ( - 4; 3 ];
( - 1: 0 ); ( 0; 1 )
Ответ: ( - ∞; - 2 ]; ( - 1; 0 );
( 0; 1 ); ( 1; 2 )
Ответ: ( - ∞; - 1 );
[ 1,25; 2 ); ( 2; 3 )
