Презентация, доклад Область определения и множество значений тригонометрических функций 10 класс

тригонометрических функций

y

1

sin x M (0;1)


x

-1 0 cos x 1 x




-1

Каждому действительному числу x соответствует единственная тоска единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан.


Областью определения для каждой из функций y=cos x и y=sin x является множество R всех действительных чисел.


Множеством значений каждой из функций y=cos x и y=sin x является отрезок [-1; 1].

Функции y=cos x и y=sin x ограничены сверху и снизу.

c

.

Решение:

Найдем значения х при которых выражение не имеет смысла, т.е. знаменатель равен 0 .

sin x +cos x = 0 / : cos x ≠ 0

tg x +1 = 0

tg x = - 1

x = - + πn, n є Z.


Ответ: x ≠ - + πn, n є Z.

выяснить , какие значения может принимать н при различных значениях х, т.е. установит при каких значениях a уравнение 3 + sinx cosx = a имеет корни.

3 + sin2x = a

sin2x = a – 3

sin2x = 2a – 6

│ 2a – 6 │ ≤ 1

-1 ≤ 2a – 6 ≤ 1

5 ≤ 2a ≤ 7

2,5 ≤ a ≤ 3,5

Ответ: [2,5;3,5]

Иначе:

y = 3 + sin2x

-1 ≤ sin2x ≤ 1

- ≤ sin2x ≤

3 - ≤ 3 + sin2x ≤ 3+

2,5 ≤ 3 + sin2x ≤ 3,5






Примечание:
при решении задачи использовалась синуса двойного угла.
sin 2x = 2 sinx cosx

sinx cosx = sin 2x

.
Она определена при тех значениях х, для которых cos x ≠ 0, т.е. при х ≠ + πn, n є Z.


Областью определения функции y = tg x является множество чисел х ≠ + πn, n є Z.

Множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.



Функция y = сtg x определяется формулой сtg x = .
Она определена при тех значениях х, для которых sin x ≠ 0, т.е. при х ≠ πn, n є Z.


Областью определения функции y =ctg x является множество является множество R всех действительных чисел.

Множеством значений функции y = ctg x является множество R c выброшенными из него точками х = πn, n є Z.


Функции y = tg x и y = сtg x не являются ограниченными

x + tg 2x.

Решение:

Выражение sin 3 x имеет смысл при х є R.

Выражение tg 2x имеет смысл при 2х ≠ + πn, n є Z.

х ≠ + , n є Z.



Ответ: х ≠ + , n є Z.

Задача № 4

Доказать, что функция y = sin 2x ограничена.

Решение:
Данная функция определена на множестве R.
Воспользуемся неравенством (│х│-1) 2 ≥ 0
x2 + 1 ≥ 2│x│
≤
Рассмотрим
│y│= │sin 2x│

Так как │sin 2x│ ≤ 1, ≤ , то

│y│= │sin 2x│ ≤ .

Значит функция ограничена на множестве R.

Ответ: функция ограничена на множестве R.