Презентация, доклад на тему :Иррациональные уравнения

– четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно и при этом значение радикала также является неотрицательным числом;
Если показатель радикала – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения;
Уравнение равносильно системе


Уравнение равносильно системе

Необходимо внимательно следить за равносильностью преобразований, а если выполнить это требование затруднительно, то следует сделать проверку в конце решения;

Уравнение равносильно системе

Решите уравнение

До возведения в степень рекомендуем предварительно убедиться в том, что множество допустимых значений неизвестной величины не пусто.

Решению данному уравнению могут удовлетворить только те значения х, для которых

Ответ.

Ø

Замечание 1. Решение примера 1 с помощью двукратного возведения в степень с прослеживанием равносильности преобразований приводит к этому же результату, но отнимает намного больше времени.

Пример 2. Решите уравнение

.

Решение.

Ответ. {1}.

Пример 3. Решите уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат и учтем допустимые значения переменной

Ответ.

Зачастую легче решить уравнение и проверить корни подстановкой в первоначальное уравнение (если эта подстановка не громоздка).

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Придерживаясь замечания, возведем обе части уравнения в квадрат. Получим:

Уединим произведение радикалов, приведем подобные члены и снова возведем обе части в квадрат:

Подстановкой в первоначальное уравнение убеждаемся, что

посторонний корень. Ответ.{2}.

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в куб и учтем при этом тождество

Тогда получим равносильное уравнение

С учетом условия

преобразуем последнее уравнение к уравнению-следствию:

,откуда

Ответ.

Пример 8. Решите уравнение

Решение: Так как

, то ни при каких действительных значениях

левая часть уравнения не может равняться –3. Ответ.

Ø

Пример 7. Решите уравнение

Ответ

Ø

Замечание. В примерах 6 и 7 нет необходимости исследовать, какие значения может принимать неизвестная величина

.

Решение. Метод возведения в квадрат при решении этого уравнения ни к чему утешительному не приведет. Очевидно, однако, что

а

Следовательно, левая часть уравнения может равняться правой части только при тех значениях

при которых обе части равны 5. Отсюда находим единственное решение исходного уравнения

Ответ. {0}.

уравнение

Ответ. {5; 6}.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Пример 10. Решите уравнение

при всех действительных значениях параметра а.

Решение. Малоподготовленные учащиеся сразу находят, что

;

Этот ошибочный ответ возник из-за того, что не учтены значения

, при которых существует

Правильным ответом данного примера является следующий:

при

при

при

рационального уравнения.
Пример 11. Решите уравнение

Решение. Замена

упрощает задачу, но при этом уравнение остается иррациональным. Удачной

является подстановка

Отсюда получаем:

и первоначальное уравнение примет вид:

Корень у = -4

не удовлетворяет условию у > 0. Решаем уравнение

Ответ. {0; 1}.

является корнем данного уравнения.

, получим равносильное уравнение:

.

Разделив обе его части на

Замена

приводит нас к уравнению:

Решаем первое уравнение совокупности:

Решаем второе уравнение совокупности:

Ответ. {3; -8/9}.

разъяснения сути этого метода приведем
Пример13. Решите уравнение

(1)

Решение. Умножим обе части уравнения на выражение

сопряженное левой части. Тогда получим эквивалентное уравнение

(2)

Складывая уравнения (1) и (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

, корнями которого являются

Ответ. {1; -8/3}.

способом введения вспомогательного неизвестного этот метод является в некоторых случаях наиболее эффективным.
Пример 14. Решите уравнение:

Решение: Обозначив

, приводим исходное уравнение к виду:

Последнее уравнение решаем методом, изложенным в [5] (с учетом того, что у>0).

1)

2)

Ø

Возвращаясь к исходному неизвестному, получим уравнение

Ответ. {2,25}.

возрастает, а функция убывает на этом отрезке, то уравнение на отрезке [a, b] имеет не более одного решения, причем если– решение этого уравнения, то при будет, а при будет.

Теорема 2. Если функция

является монотонной на R, то равенство

возможно лишь тогда, когда

.

Пример 15. Решите уравнение:

Решение. Подстановкой убеждаемся, что

=3 является корнем. Имеются ли другие корни?

является возрастающей, а

Следовательно, согласно теореме 1, уравнение других корней не имеет.
Ответ. {3}.

убывающей в О.Д.З. уравнения.

Пример 16. Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию

. Ясно, что

и

является возрастающей функцией на R. Первоначальное уравнение примет вид:

[теорема 2]

Ответ. {-(1/3)}.

.

Теорема 3. Если является возрастающей функцией, то уравнения и

равносильны.

Пример 18. Решите уравнение

Решение. Введем монотонно возрастающую функцию

Тогда исходное уравнение равносильно следующему:

⇔ [в силу теоремы 3]

⇔

.

Ответ.

называется симметрической, если

Например, функция

является симметрической.

Определение 3. Система вида

называется симметрической, если функции

1 и

2 являются симметрическими функциями своих аргументов.

В общем случае симметрические системы решаются подстановкой:

(3)

Симметрические системы могут быть применены и при решении некоторых иррациональных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение вида:

Положим

Тогда данное уравнение равносильно симметрической системе

Теперь достаточно найти все значения u, удовлетворяющие системе (4), а затем из уравнения

найти значения

.

(4)

получим систему:

Из последнего уравнения системы имеем:

откуда получаем совокупность уравнений для нахождения

:

Ответ. {6; 9}.

несовместна. Из первой системы получим:

Ответ. {-17; 23}.

Пример 20. Решите уравнение

Решение. Обозначим

Тогда данное уравнение равносильно системе:

Полученная симметрическая система решается обычным способом:

Предыдущая система примет вид: