Презентация, доклад на тему Дифференциальное и интегральное исчисление в профессии автомеханика

интегральное
исчисление в механике

Автор: Дмитрий Бурдаков, студент
I курса гр. ТА-14 (190631 Техническое
обслуживание и ремонт автомобилей)



Руководитель: Г.М. Захарова

нельзя понять основ современной техники и объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного раздела в механике.

что дифференциальное и интегральное исчисления открыли возможность для научного описания количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.
2. Практическим путём с помощью конкретных задач объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного
раздела в моей будущей профессии автомеханика.

учебной
литературы;
практический – решение конкретных
прикладных задач.

фотографию набегающей на берег штормовой океанской волны. Мы остановили мгновение, нам удалось поймать волну, и можем теперь без спешки внимательно изучать её во всех подробностях

развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - всё это оказалось вне нашего поля зрения, потому что мы не располагаем пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодным для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, технической механики, геологии, биологии, социологии и др.

величин и их взаимосвязей.

траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что всё это – динамические процессы, которые повлекли за собой появление основных понятий в математическом аппарате анализа – дифференциальное и интегральное исчисление.

с понятием производной и дифференциала функции. В данном разделе изучаются правила вычисления производных и применение производных к исследованию функций.

дифференциального уравнения, с помощью которых записываются многие физические законы.

Например, известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества и вычисляется с помощью уравнения:

котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Интегральное исчисление так же возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики.

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределённого и определённого интегралов.

– конференция» и ответил
на вопросы, которые были заданы мне
«корреспондентами» популярных СМИ

связь дифференциального и интегрального исчисления с технической механикой?»

Я предложил рассмотреть
следующие задачи:

Задача 1. При запуске двигателя его шкив в течение первых нескольких секунд вращается согласно уравнению φ = 0,2t³. Определить скорость и ускорение точек, расположенных на ободе шкива, в момент времени t = 5секундам.
Решение:

= 2t² + 3t –1 Найти кинетическую энергию тела
(m v²/2) через 3 с после начала движения.

Решение:

Найдём скорость движения тела в любой момент времени t:


2. Вычислим скорость тела в момент времени t = 3с:


3. Определим кинетическую энергию тела в момент t = 3с:

по закону
v = (29,4 – 9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъёма.

Решение:

Найдём время, в течение которого тело поднималось вверх:
29,4 – 9,8t = 0 (в момент наибольшего подъёма скорость равна нулю), → 9,8t = 29,4 → t = 3(c).
2. Далее находим наибольшую высоту подъёма:

Задача 4. Какую работу совершает сила в 10 Н при растяжении
пружины на 2 см?

Решение:

По закону Гука сила F пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = kx

2. Отсюда находим

на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 20 см?

Находим Т.к. пружину требуется растянуть на


0,06 (м) , то

интегрального исчисления делать
какие –либо расчёты автомеханики
и автомобилисты?»

Предлагаю вашему
вниманию несколько задач.

Задача 6. Для автомобиля, движущегося со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) = 30t - 16t², где s(t) – путь в метрах, - время торможения в секундах. Необходимо рассчитать, в течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки автомобиля? Какое расстояние пройдёт автомобиль с начала торможения до полной его остановки?

Решение:

Находим скорость:
В момент остановки v (t) = 0, т.е. 30 – 32t = 0, отсюда
3. Тормозной путь равен:

расстоянии

км от места

отправления. Найти его ускорение через 2 часа.

Решение:

Находим

Находим

При t = 2 имеем а = 3*4 + 24*2 +32 = 92 (км/ч²).

Задача 8. Скорость движения автомобиля задаётся формулой:
v = (4t³ - 2t+ 1) м/с. Найти путь, пройденный автомобилем за первые 4 секунды от начала движения.

Решение:

1. Воспользуемся формулой:

= 2t м/с. Найти длину пути, пройденного данным средством за 3-ю секунду его движения.

Решение:

Задача 10. Определить силу давления бензина на стенку бака автомобиля «ВАЗ-21014», длина которого 60 см, а высота – 25 см (считая бак полностью заполненным бензином).

Решение:

Здесь у = f (x) = 0,6; a = 0; b = 0,25 (м); γ = 740 кг/м³.
2. Теперь воспользуемся формулой:

данная тема пригодиться
в повседневной жизни?»

Конечно, например:

Задача 11. Около АЗС необходимо разбить прямоугольную площадку периметром 120 м. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела наибольшую площадь?

Решение:

Задача сводится на нахождение наибольшего значения функции.
1. Пусть длина площадки будет х, тогда ширину обозначим (60 – х).
2. Составим функцию: у = х*(60 – х) = 60х - х².
3. Найдём критическую точку: ; 60 – 2х = 0, а х = 30
4. Подтвердим данное значение второй производной:

жести, сторона которого а = 60 см, изготовить ящик для хранения мелких запчастей, вырезая по всем углам равные квадраты и загибая оставшуюся часть. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы ящик имел наибольший объём?

Обозначим сторону вырезаемых по углам квадратов через х. Дном коробки
является квадрат со стороной а – 2х, а высота коробки равна стороне х
вырезаемого квадрата.
Тогда V = (a – 2x)² x. Преобразуем функцию V = a² x – 4ax² + 4x³

3. Далее

в этом случае квадрат был бы разрезан на 4 равные части и никакой коробки не получилось бы.
5. Исследуем функцию на экстремум в критической точке

х = а/6: ,

т.е. при х = а/6 достигается максимум.
6. Ответ: т.к. а = 60, то х = 10 см.

Спецкор газеты «Студенческий меридиан»
спросил: «Кроме выше перечисленных задач, где студентам ещё придётся использовать знания дифференциального и интегрального
исчисления?»

Ответ: знания данной темы студентам
необходимы при изучении многих других дисциплин. Например,
в геометрии решаем задачи на вычисление площадей плоских фигур и выводим формулы объёмов геометрических тел (конуса, цилиндра, пирамиды и др.); в электротехнике находим э.д.с. (электродвижущую силу);
в биологии можем рассчитать скорость размножения бактерий.

механика» и выяснил, что кроме
выше перечисленных задач следует отметить,
что в данном пособии многие формулы выводятся
через интеграл.
Например, работа переменной силы на криволинейном пути:


элементарная работа при повороте колеса на угол
определяется по формуле



где - вращающий момент.

следующему выводу: математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), а его основу составляют дифференциальное и интегральное исчисления, играющие фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний в моей будущей профессии автомеханика.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.
Учебное пособие для техникумов. -М.; Высшая школа, 1990
3. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая
механика и сопротивление материалов.- М.; Высшая школа, 1989
4. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с
решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2011.
5. Интернет – ресурсы.