Презентация, доклад на тему Признаки делимости

а делится на целое число b, если существует целое число q, такое что а = bq . При этом число b считается отличным от нуля. Число а называется делимым, b называется делителем, а число q называется частным

Понятие делимости

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач.

Паскаль (1623-1662)

тогда и только тогда, когда
2 Последняя цифра числа a делится на 2
3 Сумма цифр числа a делится на 3
4 Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
5 Число a оканчивается цифрой 0 или 5
6 Число a делится на 2 и на 3
7 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа a делится на 7
8 Число, составленное из трёх последних цифр числа a, делится на 8
9 Сумма цифр числа a делится на 9
10 Число a оканчивается цифрой 0
11 Знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
12 Число a делится на 3 и на 4
13 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* a делится на 13
25 Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

этих признаков

её на примере признака делимости на 25.Распишем число так:
anan-1…a2a1a0 = anan-1…00 + a1a0 = 100anan -1…a2+a1a0
Число 100 делится на 25, поэтому если число anan-1…a2a1a0 делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.

числа вида 102n-1+ 1, то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:

100001 = 99990 + 11=99000 + 990 + 11=11* (9000+90+1)
anan-1…a2a1a0 Число распишем следующим образом:
anan-1…a2a1a0 = a0 +(11a1 -a1)+(99a2+a2) + (1001a3-a3) +… (11a1+99a2+1001a3+…) + (a0-a1+a2-a3+…)

Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа a.

числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890.
Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

+ 100a3a2 + 10000a6a5 +… = (99a3a2 +9999a6a5 +… ) + (a1a0 + a3a2 + a6a5 +…)
В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Остальные признаки доказываются аналогично.