Презентация, доклад на тему Применение производной к построению графиков функции

функций с помощью производной.
Знания и навыки студентов.
-знать производные элементарных функций и правила дифференцирования;
-знать признак возрастания ( убывания) функции;
-знать определения стационарных и критических точек, точек максимума и минимума;
-знать признак выпуклости( вогнутости) графика функции, понятие точки перегиба;
-знать алгоритм исследования и построения графика функции с помощью производной;
-уметь применять полученные знания для построения графиков функций на основе предварительного проведенного исследования функции в соответствии с планом.

и построению ее графика.

точках промежутка (а, в) f’>0 , то функция f(x) возрастает на этом промежутке. Если во всех точках промежутка(а, в) f’<0 , то функция f(x) убывает на этом промежутке. Экстремумы функции. Точка x0 из области определения функции называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(x0) Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

функции f(x), то f’(xо )=0 Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными точками. Точки, в которых функция имеет производную равную нулю, или не дифференцируема, называют критическими точками этой функции. Теорема. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а:в), х из (а;в), и .f’(x)=0 Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) её первая производная меняет свой знак с «+» на «-», то данная точка x0 -точка максимума функции f(x); 2)если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) её первая производная меняет свой знак с «-» на «+», то точка x0 - точка минимума функции f(x).

y = f (x) называется вогнутым вверх в промежутке  ( а,  в ), если соответствующая часть кривой y = f (x), ∀ x ∈ ( a, b) расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке  M (x, f(x)).

(  a,  b)   называется выпуклым вверх в промежутке  ( а,  b ),  если соответствующая часть кривой  y = f (x) расположена ниже касательной, проведенной в любой точке   M (x, f  (x)).

Теорема 1.   (Достаточные условия выпуклости графика)
       

Î

Если для дважды дифференцируемой функции 
y = f(x)  вторая  производная  f″ (x) > 0  ,  ∀ x ∈ (  a,  b) ,  то график этой функции выпуклый вниз  в данном промежутке.
2. Если  f″ (x) < 0,  x ∈ ( a, b ), то график  у = f (x)   выпуклый вверх.

— прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Рис. 1. Для гиперболы Y=1/X асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее

асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы одно из предельных значений или равно

Наличие вертикальной асимптоты характеризует поведение функции в окрестности данной конечной точки (не на бесконечности).

y = f (х), если

графика функции y = f (x), если [ f (x) - (kx + b)] = 0 Формально, горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной, если К=0. Теорема. Для того, чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой графика функции y = f (x), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения: к= и b=

по полученным результатам исследования.

построить ее график.

получения оценки «4» необходимо выполнить задания 1 и 2.
Для получения оценки «5» необходимо выполнить любое из заданий 1 или 2 и задание 3.

уроке)