Презентация, доклад по математике Правильные многогранники

все его грани - равные правильные многоугольники,
в каждой вершине сходится одинаковое число граней,
все его двухгранные углы равны.

сумел пробиться в самые глубины различных наук. Л. Кэрролл

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.
Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов,
другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа).
Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека,
а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.

тогда плоских углов при вершине будет тоже n.
И все они равны между собой.
Пусть х – один из плоских углов, тогда сумма плоских углов при вершине – nx.
По свойству плоских углов nx<
Угол правильного n – угольника равен

360о

n-угольника не существует.

 

60о

1. 60о * 3 = 180о < 360о , 4 грани - тетраэдр.
2. 60о * 4 = 240о < 360о , 8 граней – октаэдр.
3. 60о * 5 = 300о < 360о , 20 граней – икосаэдр.
60о * 6 = 360о
это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла,
значит больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует.

= 90о

1. 90о * 3 = 270о < 360о - 6 граней – гексаэдр (куб).
2. 90о * 4 = 360о
значит больше правильных многогранников, грани которых
– квадраты не существует.

108о

108о * 3 = 324о < 360о - 12граней –
додекаэдр.
108о * 4 > 360о
значит больше правильных многогранников, грани которых –
правильные пятиугольники не существует.

Cледовательно n* >360о (n>3),
Поэтому правильных многогранников,
грани которых – правильные многоугольники с числом сторон больше 5 ,
не существует!

о

Доказательство того, содержится в «Началах» Эвклида.

граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице

Г + В = Р + 2.

Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

его вершина является вершиной трех треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.
тетраэдр имеет
4 грани,
4 вершины
6 ребер.

Тетраэдр не имеет
центра симметрии,
но имеет 3 оси симметрии
и 6 плоскостей симметрии.
Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

вершина является вершиной трех квадратов.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.
Таким образом, куб имеет
6 граней,
8 вершин
12 ребер.

Куб имеет центр симметрии - центр куба,
9 осей симметрии
и 9 плоскостей симметрии.
Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба:
S = 6a²
Объем куба:
V = a³

четырех треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.
Таким образом,
октаэдр имеет
8 граней,
6 вершин
12 ребер.

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра,
9 осей симметрии
9 плоскостей симметрии
Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

вершиной пяти треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.
икосаэдр имеет
20 граней,
12 вершин
30 ребер.

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра,
15 осей симметрии
15 плоскостей симметрии.
Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:


Объем икосаэдра:

трех пятиугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.
Таким образом,
додекаэдр имеет
12 граней,
20 вершин
30 ребер.

Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:


Объем додекаэдра:

Додекаэдр

получится октаэдр
То есть вписанный в куб октаэдр.
Обратно: центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба.
Двойственными являются икосаэдр и додекаэдр.
Тетраэдр двойственен сам себе.

правильный гексаэдр;
В) правильная призма;
Г) правильный додекаэдр;
Д) правильный октаэдр

Ответ: в

– равные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер;
Б) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр – это одно и то же;
В) из всех правильных многогранников только правильный тетраэдр имеет центр симметрии;
Г) не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники;
Д) правильный тетраэдр состоит из 8 правильных треугольников.
Ответ: Г

Ответ: (5 )

4. Найдите площадь полной поверхности правильного октаэдра, если его ребро равно 6 см.

Ответ: 72

являются вершинами куба;

В) центры граней куба являются вершинами правильного тетраэдра;

Г) правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников;

Д) сумма плоских углов при каждой вершине куба равна 270.
ответ: В

5. Какое из следующих утверждений неверно:

2. Пособие для поступающих в вузы .Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. и др.. М., «Наука», 1985.
3.Информатика: Лабораторный практикум. Создание текстовых документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000/ Авт.-сост. В.Н. Голубцов, А.К.Козырев и др., Саратов: Лицей, 2003.
4.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы под ред. Сканави М.И., Санкт-Петербург, 1994.
5.     Интернет – сайты.
7.     Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 1967.
8.     Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.
9.     Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., 1966.
10.    Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
11. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.
12. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.