Презентация, доклад по математике на тему : Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

Операции над матрицами

в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов.
Обозначается:




Числа называются элементами матрицы, первый индекс i – обозначает номер строки, второй k – столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .
Если: а) m ≠ n, то матрица называется прямоугольной;
б) m = n – квадратной, n – порядком матрицы;
в) m = 1 – матрица называется строчной или вектор- строкой;
г) n = 1 – матрица называется столбцовой или
вектор-столбцом.

называется транспонированной по отношению к матрице А, если строки А* являются соответствующими столбцами матрицы А. Операция перехода от А от А* называется транспонированием А.
Элементы (m = n) образуют главную диагональ.
Квадратную матрицу называют диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.




Диагональная матрица называется единичной, если все .



Матрица называется нулевой , если все .
Определителем квадратной матрицы А называется определитель │А│, элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А.

называются равными
, если равны их соответствующие элементы .
2. Сложение матриц
Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, элементы которой вычисляются по формуле .
3. Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число λ называется матрица
элементы которой вычисляются по формуле
.
4. Умножение матриц
Произведением А×В матрицы А размерности m×p на матрицу В размерности p×n называется матрица С размерностью m×n, элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В, т.е.

на столбец», т. о. А×В имеет смысл только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В.
Свойства матриц
1° Произведение матриц некоммутативно, т.е. А·В ≠ В·А, поэтому говорят, что А·В – умножение матрицы А слева на матрицу В или В на А. Если А·В = В·А, то такие матрицы называют перестановочными.
2° А·Е = Е·А = А.
3° А·О = О·А = О.
4° А·В·С = (А·В)·С = А·(В·С).
5° (А+В)·С = А·С+В·С.
6° Если А и В – квадрат. матрицы С = А·В, то │С│ = │А│·│В│.
5. Деление матриц (обратная матрица)
Матрица называется обратной к матрице А, если

Присоединенной к квадратной матрице А называется матрица
того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя транспонированной матрицы А*.

матрица , вычисляемая по формуле:

.

Следствие: если матрица вырожденная, то обратная матрица не существует.
Ранг матрицы
Минором m×n матрицы называется определитель квадратной матрицы, получившийся в результате вычеркивания нескольких строк и столбцов матрицы А.
Матрица А имеет много миноров, часть которых равна нулю,
часть – нет.
Рангом матрицы А называется наивысший из порядков миноров, отличных от нуля. Обозначения: rangА, r(А), в частности rangА≤min(m,n), rangА=0↔ .
Замечание. Матрица – число. Таким образом обычные числа являются частным случаем матрицы.

и вычислением всех миноров, что достаточно трудоемко. Поэтому для вычисления r(А) используют так называемые элементарные преобразования матрицы А, сохраняющие ее ранг:
Отбрасывание нулевой строки (столбца);
Умножение строки (столбца) на число, кроме нуля;
Умножение строки (столбца) на число, кроме нуля, и сложение с соответствующими элементами другой строки (столбца);
Транспонирование матрицы;
Изменение порядка строк (столбцов).

Линейная зависимость строк или столбцов.
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости (зависимости) ее строк (столбцов). Введем обозначение строк матрицы:

, если равны соответствующие элементы , ;
;
.
Строка называется линейной комбинацией строк
, если она может быть представлена в виде
, где – любые числа.
Строки называются линейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно такие, что

Если равенство возможно лишь при , то строки
называются линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

действия установлены над матрицами? Как они определяются и каковы их свойства?
Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Для любой ли матрицы существует обратная? Если нет, то какому условию должна удовлетворять данная матрица, чтобы для нее существовала обратная матрица?
Как найти обратную матрицу?
Что называется рангом матрицы?
2. Найти D=A·B-C, если




3. Вычислить ранг матрицы и обратную матрицу: