Презентация, доклад по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод Ньютона.

Содержание

1. Презентация по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
2. Вопросы для повторения:В каких случаях мы прибегаем
3. Слайд 3
4. Вопросы для повторения:Из каких этапов состоит процесс
5. Четыре варианта поведения функции на отрезке в окрестности корня
6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:Пусть корень ξ уравнения f(x)
7. Геометрический смысл метода НьютонаГеометрический смысл метода Ньютона
8. Геометрический смысл метода НьютонаПервый случай:
9. Геометрический смысл метода НьютонаПервый случай:Y=f(b)+f’(b)(x-b) или
10. ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0),
11. ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0),
12. ПРАВИЛО выбора начального приближения:При выборе начального приближения
13. Точность приближения| ξ –Xn|
14. Замечание 1:В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём выполняется условие:M2
15. Замечание 2:Если производная f’(x) мало изменяется на
16. Модифицированный метод Ньютона:Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, то можно заменить её вычисление оценкой: f’(x)≈(f(X+h)-f(x))/h
17. ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ
18. Описание данных в программеVar x,x1,a,b,e,R:real;Function f(t:real):real;
19. Текстовое описание алгоритма метода НьютонаВвести точность E;Ввести
20. Задание на дом:По конспекту выучить основные определения

Вопросы для повторения:В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений? Что значит корень вычислен с заданной степенью точности ε ?

Главная
Информатика
Презентация по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод Ньютона.

Слайд 1МЕТОД Ньютона (метод касательных)
Кондраткова Т.А., учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82

Петроградского района СПб.

28.11.2011

Численные методы решения уравнений

Слайд 2Вопросы для повторения:
В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений?

Что значит корень вычислен с заданной степенью точности ε ?

Вопросы для повторения:В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений? Что значит корень вычислен с

Слайд 3

Слайд 4Вопросы для повторения:
Из каких этапов состоит процесс нахождения корней приближенными (численными) методами?

Что значит отделить корни?

Слайд 5Четыре варианта поведения функции на отрезке в окрестности корня

Слайд 6ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:
Пусть корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b],

причём f’(x) и f’’(x) непрерывны и сохраняют знак на всём отрезке.
Требуется определить вещественный корень этого уравнения, заключенный на отрезке [a,b] с точностью ε.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:Пусть корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b], причём f’(x) и f’’(x) непрерывны

Слайд 7Геометрический смысл метода Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что

дуга кривой Y=f(x) заменяется касательной к этой кривой (отсюда второе название: метод касательных). В качестве приближенного значения к корню берётся точка пересечения касательной с осью абсцисс.

Геометрический смысл метода НьютонаГеометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой Y=f(x) заменяется касательной к

Слайд 8Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:

Слайд 9Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:
Y=f(b)+f’(b)(x-b) или Y-f(b)=f’(b)(x-b)
Уравнение касательной функции в точке B0
Подставляем

Y=0 и X=X1

X1=b-f(b)/f’(b) X2=X1 –f(X1)/f’(X1)

Слайд 10ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0), где

X0=b X2=X1 – f(X1)/f’(X1) … Xn+1=Xn – f(Xn)/f’(Xn)

Первый случай

ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0), где X0=b X2=X1 – f(X1)/f’(X1)

Слайд 11ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0),

где X0=а X2=X1 – f(X1)/f’(X1) … Xn+1=Xn – f(Xn)/f’(Xn)

Второй случай

ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0), где X0=а X2=X1 –

Слайд 12ПРАВИЛО выбора начального приближения:
При выборе начального приближения корня X0 за исходную точку

следует выбрать тот конец отрезка [a,b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Условие для проверки в программе:
f(b)*f’’(b)>0 или f(a)*f’’(a)>0

ПРАВИЛО выбора начального приближения:При выборе начального приближения корня X0 за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка

Слайд 13Точность приближения
| ξ –Xn|

[a,b]
|Xn+1-Xn|=|f(Xn)/f’(Xn)|<|f(Xn)|/m

Следовательно точность достигнута, если
|f(Xn)/f’(Xn)|< ε

Слайд 14Замечание 1:
В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём

выполняется условие:
M2<2*m1,
где M2 =max|f’’(x)| [a,b] m1=min|f’(x)| [a,b]
Точность приближения оценивается следующим образом: Если |Xn+1-Xn|< ε, то |ξ-Xn|< ε2

Замечание 1:В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём выполняется условие:M2

Слайд 15Замечание 2:
Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то для

упрощения вычислений можно пользоваться формулой
Xn+1=Xn-f(Xn)/f’(X0)
То есть значение производной надо вычислить только один раз в начальной точке.
Геометрически это означает, что касательные в точках Bn(Xn,f(Xn)) заменяются прямыми, параллельными касательной , проведённой к кривой y=f(x) в точке B0(X0,f(X0))

Замечание 2:Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой Xn+1=Xn-f(Xn)/f’(X0)То есть

Слайд 16Модифицированный метод Ньютона:
Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, то можно

заменить её вычисление оценкой:
f’(x)≈(f(X+h)-f(x))/h

Слайд 17ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ

Слайд 18Описание данных в программе
Var
x,x1,a,b,e,R:real;
Function f(t:real):real;
Begin
F:=sqr(t)t-2sqr(t)-t+2;
End;

Function f1(t:real):real;
Begin
F:=3*sqr(t)-4*t-1;
End;
Function f2(t:real):real;
Begin
F:=6*t-4;
End;

Описание данных в программеVar x,x1,a,b,e,R:real;Function f(t:real):real; Begin F:=sqr(t)*t-2*sqr(t)-t+2; End; Function f1(t:real):real; Begin F:=3*sqr(t)-4*t-1;

Слайд 19Текстовое описание алгоритма метода Ньютона
Ввести точность E;
Ввести концы отрезка [a,b], сделать

проверку существования корня на этом отрезке;
Выбрать начальное приближение: Если f(a)*f2(a)>0, то X=a, иначе X=b;
Вычислить R:=f(X)/f1(X);
Вычислить X1:=X-R;
Сделать проверку точности: Если abs(R)>E, то X:=X1 и повторить с пункта 4., иначе конец цикла;
Печать приближенного значения корня X1;
Конец программы.

Текстовое описание алгоритма метода НьютонаВвести точность E;Ввести концы отрезка [a,b], сделать проверку существования корня на этом отрезке;Выбрать

Слайд 20Задание на дом:
По конспекту выучить основные определения и понятия;
Знать итерационную формулу

и формулу для оценки точности;
Знать геометрический смысл метода Ньютона;
Составить блок-схему по текстовому описанию алгоритма метода Ньютона.

Задание на дом:По конспекту выучить основные определения и понятия;Знать итерационную формулу и формулу для оценки точности; Знать

Скачать презентацию

Презентация, доклад по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод Ньютона.

Содержание

Слайд 1МЕТОД Ньютона (метод касательных)
Кондраткова Т.А., учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82

Слайд 2Вопросы для повторения:
В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений?

Слайд 3

Слайд 4Вопросы для повторения:
Из каких этапов состоит процесс нахождения корней приближенными (численными) методами?

Слайд 5Четыре варианта поведения функции на отрезке в окрестности корня

Слайд 6ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:
Пусть корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b],

Слайд 7Геометрический смысл метода Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что

Слайд 8Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:

Слайд 9Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:
Y=f(b)+f’(b)(x-b) или Y-f(b)=f’(b)(x-b)
Уравнение касательной функции в точке B0
Подставляем

Слайд 10ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0), где

Слайд 11ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0),

Слайд 12ПРАВИЛО выбора начального приближения:
При выборе начального приближения корня X0 за исходную точку

Слайд 13Точность приближения
| ξ –Xn|

Слайд 14Замечание 1:
В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём

Слайд 15Замечание 2:
Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то для

Слайд 16Модифицированный метод Ньютона:
Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, то можно

Слайд 17ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ

Слайд 18Описание данных в программе
Var
x,x1,a,b,e,R:real;
Function f(t:real):real;
Begin
F:=sqr(t)t-2sqr(t)-t+2;
End;

Слайд 19Текстовое описание алгоритма метода Ньютона
Ввести точность E;
Ввести концы отрезка [a,b], сделать

Слайд 20Задание на дом:
По конспекту выучить основные определения и понятия;
Знать итерационную формулу

Что такое shareslide.ru?

Обратная связь

Презентация, доклад по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод Ньютона.

Содержание

Слайд 1МЕТОД Ньютона (метод касательных)Кондраткова Т.А., учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82

Слайд 2Вопросы для повторения:В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений?

Слайд 3

Слайд 4Вопросы для повторения:Из каких этапов состоит процесс нахождения корней приближенными (численными) методами?

Слайд 5Четыре варианта поведения функции на отрезке в окрестности корня

Слайд 6ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:Пусть корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b],

Слайд 7Геометрический смысл метода НьютонаГеометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что

Слайд 8Геометрический смысл метода НьютонаПервый случай:

Слайд 9Геометрический смысл метода НьютонаПервый случай:Y=f(b)+f’(b)(x-b) или Y-f(b)=f’(b)(x-b)Уравнение касательной функции в точке B0Подставляем

Слайд 10ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0), где

Слайд 11ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛАX1=X0 - f(X0)/f’(X0),

Слайд 12ПРАВИЛО выбора начального приближения:При выборе начального приближения корня X0 за исходную точку

Слайд 13Точность приближения| ξ –Xn|

Слайд 14Замечание 1:В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём

Слайд 15Замечание 2:Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то для

Слайд 16Модифицированный метод Ньютона:Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, то можно

Слайд 17ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ

Слайд 18Описание данных в программеVar x,x1,a,b,e,R:real;Function f(t:real):real; Begin F:=sqr(t)*t-2*sqr(t)-t+2; End;

Слайд 19Текстовое описание алгоритма метода НьютонаВвести точность E;Ввести концы отрезка [a,b], сделать

Слайд 20Задание на дом:По конспекту выучить основные определения и понятия;Знать итерационную формулу

Похожие презентации

Что такое shareslide.ru?

Обратная связь

Слайд 1МЕТОД Ньютона (метод касательных)
Кондраткова Т.А., учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82

Слайд 2Вопросы для повторения:
В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений?

Слайд 4Вопросы для повторения:
Из каких этапов состоит процесс нахождения корней приближенными (численными) методами?

Слайд 6ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:
Пусть корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b],

Слайд 7Геометрический смысл метода Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что

Слайд 8Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:

Слайд 9Геометрический смысл метода Ньютона
Первый случай:
Y=f(b)+f’(b)(x-b) или Y-f(b)=f’(b)(x-b)
Уравнение касательной функции в точке B0
Подставляем

Слайд 10ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0), где

Слайд 11ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА
X1=X0 - f(X0)/f’(X0),

Слайд 12ПРАВИЛО выбора начального приближения:
При выборе начального приближения корня X0 за исходную точку

Слайд 13Точность приближения
| ξ –Xn|

Слайд 14Замечание 1:
В случае, когда отрезок [a,b] настолько мал, что на нём

Слайд 15Замечание 2:
Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то для

Слайд 16Модифицированный метод Ньютона:
Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, то можно

Слайд 18Описание данных в программе
Var
x,x1,a,b,e,R:real;
Function f(t:real):real;
Begin
F:=sqr(t)t-2sqr(t)-t+2;
End;

Слайд 19Текстовое описание алгоритма метода Ньютона
Ввести точность E;
Ввести концы отрезка [a,b], сделать

Слайд 20Задание на дом:
По конспекту выучить основные определения и понятия;
Знать итерационную формулу