Презентация, доклад Основы алгебры логики

сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления.

Основными формами абстрактного мышления являются понятия, высказывания (суждения) и умозаключения.

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами.

Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.

общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами. Примеры алгебр: алгебра натуральных чисел, алгебра рациональных чисел, алгебра многочленов, алгебра векторов, алгебра матриц, алгебра множеств и т.д. Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания.
     Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.
      Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.
      Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).
      Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
      Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.
      Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание.

Какого цвета этот дом?
2) Число Х не превосходит единицы.
3) 4Х+3
4) Посмотрите в окно.
5) Пейте томатный сок!
6) Вы были в театре?
7) Сумма числа 5 и Х равна 10.

2. Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?

Город Париж — столица Франции.
Число 2 является делителем числа 7.
3 + 5 = 2 * 4.
2 + 6 > 10.
Сканер — это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
II + VI > VIII.
Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8.
Мышь — устройство ввода информации.

и;
обозначение: &;
в языках программирования обозначение: and;
иное название: логическое умножение.
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
F = A & B
Значения логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функции при всех возможных наборах ее аргументов.
Таблица истинности логического умножения

;
в языках программирования обозначение: or;
иное название: логическое сложение.
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Таблица истинности логического сложения

Основные операции алгебры логики

обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.
1) Число 376 четное и трехзначное.
2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
3) Земля имеет форму шара.
4) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу.
5) Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
6) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.
4. Найдите значения логических выражений:
    а) (1 Ú 1) Ú (1 Ú 0);
    б) ((1 Ú 0) Ú 1) Ú 1;
    в) (0 Ú 1) Ú (1 Ú 0);
    г) (0&1)&1;
5. При каких значениях числа X логическое выражение не ((X > 8) или (X < -3)) примет значение:
а) ложь;
б) истина.

информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.

7. Определите истинность составных высказываний:

а) (А &В) & (C Ú D); б) (А &В) Þ (C Ú D);
в) (А Ú В) Û (C & D); г)  А Û  В .  

Задания 6,7

имеют следующий приоритет: действия в скобках,  , &, Ú , Þ , Û .

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении.
2. Определить число строк в таблице m = 2n.
3. Подсчитать количество логических операций в формуле.
4. Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.
6. Выписать наборы входных переменных.
7. Провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

В Ú (А & В)
b) A & ( А Ú B Ú C)
c) A & ( B Ú B & C)
d) (A Þ B) Û (А & В)

9. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих высказываний:

a) (А Þ В) & (А Ú  B ) и b) (А Û В) & (А & В) Ú ( А &  B )

Ответы

одной из логических операций, называется логическим элементом. Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).

конъюнктор

дизъюнктор

инвертор

пример логической схемы

(рис. 1)

Рис. 1

11. Определить логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на двух выходах логической схемы (рис. 2)  

Рис. 2

одноразрядный полусумматор двоичных чисел

P (перенос)

S (сумма)

Ответы

9. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих высказываний:

Назад

= (X & Y) & (X  Y)

Назад