Презентация, доклад по математике на тему Построение сечений многогранников

любые две точки пространства проходит единственная прямая.
А 2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.

треугольник

2. Диагональное сечение – треугольник.

K

L

M

N

S

M

N

▲SКM - сечение

▲ SMN - сечение

Способ следов
Способ следов заключается в следующем. Вначале строят на основной плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают большей частью плоскость основания геометрического тела).Затем, используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные ( и данные ) точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.

плоскостью, проходящей через три заданные точки

A

B

C

B1

C1

D

E

F

Пример 1

A1

DЕ – линия пересечения этих
пл-тей.
2.Е и F Є пл-ти грани ВСС1В1 и пл-ти
сечения =› ЕF – линия пересечения этих пл-тей
3.DE и AA1 лежат в пл-ти АА1С1С.найдем их точку пересечения. АА1∩ DE = G
4. G Є пл-ти сечения, т.к. G Є DE. G и F Є пл-ти АА1В1В и пл-ти сечения =› GF – линия пересечения этих пл-тей.
5. GF ∩ А1В1 = L. F и L Є пл-ти АА1В1В и пл-ти сечения =› FL – линия пересечения этих пл-тей.
6. D и L Є А1В1С1 и пл-ти сечения =›
DL – линия пересечения этих пл-тей.
7. DEFL – искомое сечение.

точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).
2.Построить след сечения на плоскости основания многогранника.
3.Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника ( продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).
4.Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения ее с ребрами грани.
5.Выполнить п.1

В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Є PA,
F Є PC.
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки R, M, F.

Построим вспомогательные линии ЕС и DA. ЕС ∩ DA = K.
2.Построим вспомогательную линию RF.
3.Построим вспомогат. линию РК. РК ∩ RF= K1
4.MK1∩ PD = Q. Соединим R и Q.
5.Соединим Q и F. Построим вспомогат. линию ЕВ. ЕВ ∩ АD = H.
6.Построим вспомогат. линию РН. РН ∩ МQ = H1
7.RH1 ∩ PB = N. Соединим М и N.
8. Соединим точки F и N.
9. MNFQR-ИСКОМОЕ СЕЧЕНИЕ

P

A

B

C

D

E

.

.

.

R

M

F

K

.

K1

Q

H

H1

N

их пересечения.
2.Построить след сечения на ребре многогранника.
3.Если точек сечения не хватает для построения сечения, повторить пп.1-2.

построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построение этого сечения осуществляется с использованием теорем о параллельности в пространстве и др.

лежат на ребрах многогранника.
Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении.
Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника.
Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

также в техническом черчении для выявления формы и внутреннего устройства предметов.

семиугольник
в) шестиугольник
г) трапеция

ВСв) ВСD
г) Аг) АDг) АDС

А

В

С

D

L

M

N

АВС и АВа) АВС и АВD
б) АВС и ВСб) АВС и ВСD
в) АВС и Ав) АВС и АDв) АВС и АDС
г) АВг) АВDг) АВD и АСг) АВD и АСD

А

В

С

D

M

на ребре ВD,точка L - на DС. Какие точки не лежат в одной грани?

а) М и а) М и N
б) М и б) М и L
в) Nв) N ив) N и L
г) нет таких точек

А

В

С

M

N

L

D

Ма) МL а) МL и АВ
б) Мб) МLб) МL и Сб) МL и СD
в) Мв) МL в) МL и Вв) МL и ВD
г) АВ и ВС

А

В

С

D

M

L

на ребре DC, точка М - на грани СВD. Построение сечения тетраэдра плоскостью МNL следует начать с грани…

А

а) АВС
б) АВб) АВD
в) ВСв) ВСD
г) Аг) АDC

В

С

D

L

M

N

N в плоскости АВD. Как расположены прямая МN и плоскость ВDС?

а) ММN МN лежит в плоскости ВМN лежит в плоскости ВDМN лежит в плоскости ВDС
б) ММN МN пересекает плоскость ВМN пересекает плоскость ВDМN пересекает плоскость ВDС
в) Мв) МN в) МN параллельна плоскости Вв) МN параллельна плоскости ВDв) МN параллельна плоскости ВDС
г) Мг) МN г) МN скрещивается с Вг) МN скрещивается с ВDг) МN скрещивается с ВDС

А

В

С

D

M

N

плоскости FF1E1E). Получился отрезок PQ.
2). Соединим т.Q и т.R (т.к. они лежат в одной плоскости EE1D1D). Получился отрезок QR.
3). Соединим т.R и т.P.


Треугольник PQR – искомое сечение данной призмы.

A1

B1

C1

D1

E1

F1

А

B

C

D

E

F

Дано: точки P, Q, R, лежащие на ребрах призмы. Построить сечение, проходящее через данные точки.

P

Q

R

Є CC1
Построить
сечение куба плоскостью, походящей через три заданные точки

C1

и С1D1 лежат в одной грани (СС1D1D). Найдем их точку пересечения. PQ ∩ C1D1 = E
3.R и E Є пл-ти сечения и пл-ти A1B1C1D1
=› RE – линия пересечения этих пл-тей.
4. RE ∩ A1D1 = F =› RF – линия пересечения пл-ти сечения и пл-ти А1В1С1D1.
5.Точки Q и F Є пл-ти сечения и пл-ти АА1D1D =› QF – линия пересечения этих пл-тей.
6. RE ∩ В1С1 = G. Точки P и G Є пл-ти сечения и пл-ти ВВ1С1С =› PG – линия пересечения этих пл-тей.
7. PG ∩ ВВ1 = Н =› РН – линия пересечения пл-ти сечения и пл-ти ВВ1С1С.
8. Точки R и Н Є пл-ти сечения и пл-ти АА1В1В =› RН – линия пересечения этих пл-тей.
9.RHPQF – искомое сечение.

проходящее через три заданные точки

пересечения пл-ти сечения и пл-ти ASD. QР – линия пересечения пл-ти сечения и пл-ти SDС.
2. MQ ∩ AD = Е. РQ ∩ AD = F. Точки Е и F Є пл-ти сечения пл-ти АВС =› ЕF – линия пересечения этих пл-тей.
3. ЕF ∩ ВС = G. Точки Р и G Є пл-ти сечения и пл-ти ВSС =› РG – линия пересечения этих пл-тей.
4. РG ∩ ВS = Н. РН – линия пересечения пл-ти сечения и пл-ти ВSС
5. Точки М и Н Є пл-ти сечения и пл-ти ASВ =›
=› МН – линия пересечения этих пл-тей.
6. МНРQ – искомое сечение.

проходящее через данную точку и заданное следом.

АВ ∩ L = Т2.
4.Соединим точки Q и Т2. QТ2 ∩ РВ = R.
5. СВ ∩ L = Т3. соединим точки Т3 и R. Т3R ∩ РС = М
6. DC ∩ L = Т4. соединим точки М и Т4. МТ4 ∩ РD = N.
7.Точки К, М, N, R и Q являются вершинами многоугольника, который получится в сечении =› =› КМNRQ – искомое сечение.

Е

Р

С

А

В

L

K

D

T1

Q

T2

R

T3

M

T4

N

проходящее через точку М и заданное следом.

∩ L = Y. NY ∩ BB1 = P.
3. AB ∩ L = Z. Соединим Z и P. ZP ∩ АА1 = Q.
4. АЕ ∩ L = Т
5. TQ ∩ EE1 = R
6.Точки Q, R, M, N и P являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
7. QRMNP – искомое сечение.

.

CC1D1D, Q – на ребре АА1, R – на ребре В1С1. Построить сечение, проходящее через данные точки.

Построение:
1). Проецируем точки P, Q, R. Они спроецируются на точки P’, Q’, R’.
2). Строим т.S1 – точка пересечения PR и P’R’ и т.S2 – точка пересечения QR и Q’R’.
3). Строим прямую S1S2 – линия пересечения плоскостей PQR и ABC.
4). Проведем прямую Q’D и найдем точку S3, в которой пересекаются прямые Q’D и S1S2.
5). Строим т.D2 – точка пересечения QS3 и DD1.
6). Проведем прямую D2C2 через т.Р.

7). Проведем С2R. Получим т.В2 – точка пересечения ВВ1 и С2R.
8). Проведем В2Q – линия пересечения ВВ1 и VQ. Получим т.V
9). Соединим т. V и т.R. Получим VR.


Многоугольник QD2C2R2V – искомое сечение.

D2

A

на ребре DD1; М – на ребре FF1. Построить сечение, проходящее через данные точки.

Построение:
1). Соединим т.P и т.N. Получим PN.
2). Соединим т.N и т.M. Получим NM.
3). Cсоединим т.P и т.М.
4). Спроецируем точки Р, N, M. Они спроектируются на точки С, D, F.
5). Соединим т.D и т.В. Получим, что DB и CF пересекаются в т.U1.
6). Спроецируем т.U1 на плоскость PNM. Получим т.U.
7). Спроецируем BD на плоскость PNM. Получим NQ.
8). Соединим т.D и т.A. Получим, что DA и CF пересекаются в т.V1.
9). Спроецируем т.V1 на плоскость PNM. Получим т.V.
10). Соединим т.V и т.N. Получим VN.
11). Спроецируем AD на плоскость PNM. Получим отрезок NK, который наложится на отрезок NV, т.е. NK является продолжением NV.

Пятиугольник KQPNM – искомое сечение данного куба.

N – на грани AA1B1B, Р – на грани ВВ1С1С. Построить сечение, проходящее через данные точки.

Построение:
1). Спроецируем т.Р и т.N на плоскость ABCD. Получим точки P1, N1.
2). Соединим т. Р и т.N. Получим PN.
3). Соединим т.P1 и т.N1. Получим P1N1.
4). Продолжим PN и P1N1. Получим, что они пересекаются в т.X. 5).Соединим т.Х и т.М. Получим, что AD и XM пересекаются в т.Q,а ХМ пересекает CD в т.R.
6). Продолжим ВС и ХМ. Получим, что они пересекаются в т.У.

7). Соединим т.Р и т.У. Получим, что РУ пересекает ВС в т.S и в т.Т.
8). Продолжим ВВ1 и РУ. Получим, что они пересекаются в т.Z.
9). Соединим т.Z и т.Х. Получим, что XZ пересекается с А1B1 в т.U; XZ пересекается с AA1 в т.F.

Шестиугольник FUTSRQ – искомое сечение данного параллелограмма