Презентация, доклад к уроку геометрии по теме: Объемы (11 класс). Задача об удвоении куба и не только...

А.М.
2016г.

линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба
Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой.
Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. 

острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба.

Задача 1. Об удвоении куба

предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи.

Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал:
«Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб»

Задача 1. Об удвоении куба

сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его. В современных обозначениях — к нахождению

Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.
Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.
Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

Задача 1. Об удвоении куба

котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.
Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.
Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию, Филону Византийскому и Герону, также использует метод вставки.
В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу, Паппу и Спору, используется та же идея, что и в решении Платона, при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду.

Свои решения также предложили Виет, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Задача 1. Об удвоении куба

к проблеме построения отрезка длиной 

 Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Хотя удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать некоторые дополнительные инструменты. Например, удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами.

Задача 1. Об удвоении куба

равносторонний треугольник MPN со стороной a, продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM. Возьмём линейку невсиса с диастемой a и используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB. Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a.

Задача 1. Об удвоении куба

Невис - метод геометрического построения, цель которого — вписать отрезок заданной длины между двумя кривыми линиями таким образом, чтобы этот отрезок или его продолжение проходил через заданную точку.

– о делении любого угла на три равные части. Задача эта была поставлена еще в V в. До н. э. и получила название у древних Греков задачи о трисекции угла .

Задача 2. Трисекция угла.

За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но так и не решили.

разрешима только тогда, когда уравнение
разрешимо в квадратных радикалах.
Например,
Трисекция осуществима для углов вида , если целое число  n не делится на 3
  Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа

Задача 2. Трисекция угла.

с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), конхоида Никомеда, конические сечения, спираль Архимеда.
Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами.

Задача 2. Трисекция угла.

предложено Архимедом

задачей нахождения площади круга. В древнем Египте уже знали, что эта площадь (S) пропорциональна квадрату диаметра круга d и для вычислений использовали формулу Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра d считалась равной площади квадрата со стороной 
 В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение  равным 

Задача 3.
Квадратура круга.

Древнегреческие математики своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («квадратуру»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью циркуля и линейки. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие.

основном уточнения значения числа и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались Фибоначчи, Николай Кузанский и Леонардо да Винчи. Позднее обширные исследования опубликовали Кеплер и Гюйгенс. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число  не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая извлечение корня), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга.

Задача 3.
Квадратура круга.

«Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные Лежандром (1794 год)

Окончательное доказательство неразрешимости квадратуры круга дал в 1882 году Линдеман. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга.

Задача 3.
Квадратура круга.

квадрата, то задача сводится к решению уравнения:    С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису).

Задача 3.
Квадратура круга.

с радиусом основания R и высотой  намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью  

Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Задача 3.
Квадратура круга.

искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата
Метафора «Квадратура круга»
Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие

Задача 3.
Квадратура круга.