Презентация, доклад на тему Материалы для учеников: вписанная и описанная окружность

многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема
В любой треугольник можно вписать окружность.



Замечания
1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.
2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Вписанная окружность

описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.



Теорема
Около любого треугольника можно описать окружность.

Замечания
1)    Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.
2)    В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

такое срединный перпендикуляр к отрезку?

Сформулируйте теорему о срединном перпендикуляре к отрезку.

Сформулируйте свойство высот треугольника.

всех рисунках, окружности находится внутри прямоугольника или треугольника

касается ее.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

если все стороны треугольника касаются окружности.

Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.

в точке О.
Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС
Доказательство
Рассмотрим  АВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам  АВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Они равны, потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности.

Заметим АMO= АKO, по гипотенузе и острому углу: AO – общая, МАО=КАО, т.к. АО-биссектриса, АМО=АКО=90°.
Это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.
Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2

,

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

(6 + r)2 + (4 + r)2 = 102

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см