Презентация, доклад внеклассного занятия по геометрии Бимедианы четырехугольника. Теорема Вариньона в теориях и задачах

Вариньона в теории и задачах»

Автор:: Ковалева Людмила Леонидовна учитель математики, высшей квалификационной категории, «Почётный работник общего образования РФ», МБОУ «СОШ №77» г.Кемерово

геометрии свойств.
2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.
4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .

познакомиться с теоремой Вариньона и научиться применять её на практике.

Объект исследования: Теорема Вариньона

Предмет исследования: геометрия

решения задач по данной теореме, вывести доказательство и сделать следствие по теореме Вариньона.
2. Сравнить способы решения с помощью обыденного решения задач, и используя теорему Вариньона.
3. Показать наглядно способы решения на примере конкурсных и олимпиадных заданий, применяя теорему Вариньона.

г.).
Изучал философию, математику в частности.
Место рождения-Каен.

Главнейшие научные заслуги Вариньона относятся к механике. Вариньон исходя из принципа равновесия рычага, начала параллелограмма сил и применяя теорему моментов, выводит условия равновесия всех простых машин.
Является первым учёным, который доказал, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

тогда, когда в исходном четырехугольнике:

Дано:
ABCD – четырехугольник;
KLMN – параллелограмм
Вариньона;
AC=BD
Доказать: KLMN – ромб

а) диагонали равны (см. рис. 2.1.)

б) бимедианы перпендикулярны (см. рис. 2.2).

Дано:
ABCD – четырехугольник;
KLMN – параллелограмм Вариньона;
KM и LN перпендикулярны
Доказать:
KLMN – ромб

тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны (см. рис 3.1.);

Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

б) бимедианы равны (см. рис. 3.2.).

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.
Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, .1 и 5.2); обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:LQ║CD║PN и PL║AB║NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4.1.);

Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).

б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4.2.).

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

сумме
квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка,
соединяющего середины диагоналей, то есть

.

пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Доказательство:
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

Что и требовалось доказать

и b.
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение.

параллелограмм; со сторонами

параллелограмм; со сторонами

и

Ответ:

Периметр параллелограмма
Вариньона равен a+b.

являются вершинами параллелограмма.
Решение.
См. теорему Вариньона.

площадь равна произведению средних линий

Дано:
ABCD – четырехугольник;
AC = BD
Доказать: SABCD= KM*LN

Доказательство:
Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать

равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Дано:
ABCD – четырехугольник;
AC = BD
Доказать: SABCD= KM*LN

Доказательство:
Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать

ABCD выбраны точки

так, что

Докажите, что

и точка A находится между

и B, точка B – между

и C, точка C – между

и D, точка D – между

и A

Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD .
Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD

Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке

не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

а также повышенной сложности (олимпиадные).
Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается больше времени, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает наименьшее время. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет около 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных задач.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.
Цель работы считаю достигнутой, задачи решены.

школе № 4 – 2006, стр. 45–50
В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2008.
Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
Интернет-ресурсы easymath.com.ua/
Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.
Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.
Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.
В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.