Презентация, доклад задач на проценты

Маргарита Владимировна, Андрющенко Татьяна Олеговна
ученицы 9 класса МКОУ Октябрьская СОШ
 
 
 
Руководитель:
Тихонова Людмила Кузьминична,
учитель математики высшей квалификационной категории
МКОУ Октябрьская СОШ
 
 
 
 
 
 
 
 п. Октябрьский 2013

того – Узнавайте цену одного. Сколько надо процентов, тогда Вы найдете легко, без труда. .

Введение.
Проблема: показать актуальность и значимость процента.
Объект исследования - процент.
Цель: дать компактное и четкое изложения теории по теме «Проценты» и провести доказательство необходимости применения процентов в современном мире.
Задачи:
1. Изучить литературу, связанную с понятием «процент».
2. Выделить основные группы задач, подтверждающих актуальность и значимость процента.
3. Отобрать необходимые задачи на проценты.
4. Прорешать типовые задачи на проценты.

Симон Стевин(1548—1620) - бельгийский математик и инженер. Стал известен, прежде всего, своей книгой «Десятая», изданной на фламандском и французском языках в 1585 г. Он же ввел понятие процента и опубликовал таблицы процентов.

части целых чисел в одних и тех же сотых долях.

Знак % происходит от итальянского procento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту «/», возник современный знак процента.


Схема возникновения знака процента Pro cento cento cto c/o %

избирателей.
2. Количество мальчиков составляло 50% от количества девочек.
3. Рейтинг победителя в хит-параде равен 67%.
4. Промышленное производство сократилось на 8,4%.
5. Уровень инфляции составляет 8% в год.

6. Банк начисляет 10% годовых.
7. Молоко содержит 3.1% жира.
8 .Материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера.
9 .Уровень преступности в городе вырос на 1.2%. 10. Получить 150% выгоды от продажи и т.д.

а % от b, надо
b ∙ 0,01а
2. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что
а % числа x равно b, то х=b:0,01a
3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.

b на p %, то a = b + 0,01pb = b (1 + 0,01p)
б) Если a меньше b на p %, то a = b – 0,01pb = b (1 – 0,01p)
4.2. а) Если a возросло на p %, то новое значение равно: a (1 + 0,01p)
б) Если a уменьшили на p %, то новое значение равно: a (1 – 0,01p)
в) Объединив a) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число a на p %, а затем полученное уменьшили на p %, то a( 1-( 0,01p )2)
5. Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то пользуются формулой сложных процентов (проценты на проценты)
b = a∙( 1+0,01 p)n
 
 

на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?
Решение:
Пусть первоначальная цена товара «а», тогда, используя формулу, получим:
a = a (1 – 0,32 ) = 0,91a.
Ответ: цена снизилась на 9%.

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?
Решение:
Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10р. Если родители просрочат оплату
на день, то им придется заплатить 250 + 10 = 260(р.),
на неделю - 250 + 10 ∙ 7 = 320 (р.)

Ответ: 320 р.

р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
Стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 руб., т.е. 360 ∙ 0,85 =306 руб. , второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 руб., т.е. 306 ∙ 0,9 = 275,4 руб. .
Ответ: 275 р. 40 коп.

сумму получит рабочий после удержания подоходного налога на доходы физических лиц?
Решение:
1) (4200 – 400) ∙ 0,13 = 494 р. – налог.
2) 4200 – 494 = 3706 р.
Замечание: При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400р., налог 13% берется от оставшийся суммы. Ответ: 3706 р.

Обзор задач на проценты, взятых из реальной жизни.

5. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. Насколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?
Решение: Пусть зарплата рабочего была x руб, тогда b = x ∙ (1+ 0,1)(1 + 0,2) = 1,32x 1,32x – x = 0,32x
Ответ: на 32%.

.

Задача 6.
Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?
Решение:
Пусть полотна было р. Первый купил 0,25р, осталось (1 - 0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3 ∙ 0,75р = 0,225р,
осталось 0,75р – 0,225р = 0,525р, третий купил 0,4 ∙ 0,525р = 0,21р, осталось 0,525р - 0,21р = 0,315р, что составляет 31,5 % от р.
Ответ: 31,5%

Обзор задач на проценты, взятых из реальной жизни.

смеси, растворы и сплавы.
3.Задачи банковских систем(вклады, кредиты).

с простого нахождения процента от числа и заканчивая самыми разнообразными ситуациями нашей жизни, требующих вмешательство процентов.
 

различным содержанием соли
Кислот различной концентрации
Сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр.
nк = mв : mр

жирности и 7 литров молока шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока (в процентах)?
Решение:
При решении этой задачи можно воспользоваться формулой nк = mв : mр

nк = (3 ∙ 0,01 + 7 ∙ 0,06) : 10 = (0,03 + 0,42) : 10 = 0,45 : 10 = 0,045
0,045 ∙ 100% = 4,5%

Значит, жирность полученного молока – 4,5%.
 

Задача 11.

5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение: p=

откуда р = 0,255, что составляет 25,5%
Ответ: 25,5%

в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за нее на 3,5% больше денег, чем в прошлом году.
Решение:
Пусть q0 – объем продаж прошлого года; p1 – цена продаж текущего года;
p0 – цена продаж прошлого года; q1 – объем продаж текущего года;
p0q0 – выручка прошлого года; p1q1 – выручка текущего года.
По условию задачи p1q1 =1,035 p0q0, причем q1 = 0,9 q0, p1 = (1 + x) p0; где x– доля повышения цены на морковь.
 Значит, (1 + x) p0 ∙ 0,9 q0 = 1,035 p0q0,
0,9(1 + x) = 1,035
0,9x = 1,035 – 0,9
x = (1,035 – 0,9) : 0,9
x = 0,15.
Значит, агрофирма должна повысить цену на морковь на 15%, чтобы получить прибыль на 3,5% больше, чем в прошлом году.
Ответ: на 15%.

Задача 9.

К 15 л 10% - ного раствора соли добавили 5% - ный раствор соли и
получили 8% - ный раствор. Какое количество литров 5% - ного раствора добавили?

Решение:
Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора
стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,08 ∙ (15 + х) л соли. В 15 л 10% - ного раствора содержится 15 ∙ 0,1 = 1,5 л соли, в х л 5% - ного раствора содержится 0,05х л соли.
Составим уравнение и решим его.
1,5 + 0,05х = 0,08 ∙ (15 + х); 1,5+0,05x = 0,08∙15+0,08x ; 0,05x – 0,08x = - 1,5 + 1,2;
- 0,03x = - 0,3; х=10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора.

сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав ,содержащий 10% меди . Найдите массу третьего сплава.

Решение:
Пусть масса первого сплава х кг. Тогда масса второго (х+4) кг, а третьего – (2х +4)кг.
В первом сплаве содержится 0,05х кг меди , а во втором -0,11(х+4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2х+4) кг меди , составим уравнение :
0,05х+0,11(х+4)=0,1(2х+4); 0,04х=0,04, откуда х = 1.
Тогда масса третьего слава равна 6 кг.
Ответ: 6 кг.

в банке по вкладам и кредитам. Такие задачи обычно решаются по двум формулам:
Sn = So (1+ n)- (формула простых процентов).

2. Sn = So ∙( 1+ )n (формула сложных процентов).

Sn - полученная сумма; So - начальная сумма;p –число процентов; n – кол-во лет, где n = 1,2, 3…

Задача 10.

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000 р.
Решение:
S8= So ∙ (1 + 8 ∙ 4 : 100) = 33000,
So = 33000 : 1,32= 25000 (р.).
Ответ: 25000 р.

цена товара ежедневно снижалась на 10% по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813рублей меньше первоначальной?
Решение: 3000∙(1-0,1)х =2187
0,9х = 2187: 3000
0,9х =
0,9х = 0,93
x = 3.

Ответ: цена снижалась три раза.

Задача 13.

Вкладчик положил в банк 5000рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8%. Какая сумма будет у него на счету через 6 лет?
Решение:
Начальная сумма вклада составляет 5000рублей. Через год эта сумма возрастет на 8% и составит 108% от 5000рублей, т.е. будет равна 5000∙1,08 р. Через 2 года накопленная сумма составит (5000 ∙1,08 )∙1,08р., т.е. 5000 ∙1,082 р. Через 3 года на счету у вкладчика будет (5000 ∙1,082 ) ∙1,08 = 5000 ∙1,083
Таким образом, сумма, накопленная на счету у вкладчика, через 6 лет будет равна 5000 ∙1,086≈ 7934 р.
Ответ: 7934рубля.

Задача 14.

При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.
Решение:
500 ∙ (1 + ) = 650,
p = (650 : 500 – 1) ∙ 100 : 6,
p = 5.
Ответ: 5%.

необходим как школьникам , так и взрослым в любой сфере деятельности.
С поставленными задачами мы справились, цель достигнута!

пойми,
Запомни навсегда,
И в будущем их примени-
На взлет пойдут дела!
Автор: Андрющенко Татьяна.