Презентация, доклад по математике на тему: Комбинаторика

ГБПОУ «Рузаевский политехнический техникум»

Преподаватель математики Курочкина В.М.

Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание материала.
2. Организовать работу студентов по применению знаний.
 
Тип урока: Изучение нового материала.
 
Оборудование: Компьютер, проектор и экран для демонстрации презентации.

лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?

РЕШИТЬ СТАРИННУЮ ЗАДАЧУ VIII ВЕКА:

составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).
С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

слева от 1 – го столбца поместим первые цифры искомых чисел, сверху – вторые цифры этих чисел (чётные цифры, тогда столбцов будет три).

сколько клеток в столбце, т.е. 15.

Ответ: 15 чисел

запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака

Решение: КП КБ КПр КК
СП СБ СПр СК
К-рП К-рБ К-рПр К-рК


Ответ: 12 вариантов.

Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.
Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. 

в общем виде:

Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п1 · п2 · п2 · … · пk.

которые основаны на общем правиле умножения:
Примени это правило к каждой из решённых задач.
1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n1=3; средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1.
  n1 n2 n3 = 3 * 2 * 1 = 6
2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому m n = 5 *3 = 15

борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дере­во возможных вариантов.

рассуждать так.
Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары:
Б г; б к; б с; б п (4 пары).
Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда:
Рг; р к; р с; р п (4 пары).
Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8.
Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.
Ответ: б г; б к; б с; б п; р г; р к; р с; р п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.

В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А.
Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила.
Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д.

Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД.

Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС.

Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).

Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12.
Ответ: 12 способов.
 

цифр, используя в записи числа каждую из них не более од­ного раза:
а) 1, 6, 8;

Всего 6 различных чисел

Каждый из них сыграл с
каждым по одной партии. Сколько
всего партий было сыграно?

играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).

Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами; по правилу произведения всего можно образовать 9*8=72 пары,
но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов.

Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно .

Ответ: 36 партий.

6 г.Шарьи

6 г.Шарьи

3! = 1•2•3 = 6

6! = 1•2•3•4•5•6 = 720

№ 6 г.Шарьи

№ 6 г.Шарьи

пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с.
Эти книги нужно расставить на полке по разному.

с

б

а

порядке.

Обозначают

Pn = n!

Задача №5

Сколькими способами 4 человека смогут разместиться на четырехместной скамейке?

Задача №6

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2,4,6?

a, b, c, d.
В пустые ячейки можно по – разному разместить три шара из этого набора.

cad, cba, cbd, cda, cdb
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb

из k элементов, взятых
в определенном порядке из данных n элементов.

A

Задача № 7

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание
на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Задача №8

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколько существует способов размещения фотографий в свободные места?

a) 4 фотографии;
b) 6 фотографий.

k элементов, выбранных из данных n элементов

Cnk=

Cnk = Cnn-k

3. Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1

Задача № 9

Из 15-ти членов туристической группу надо выбрать трех дежурных.
Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Задача №10

Из вазы с фруктами, где лежит 9 яблок и 6 груш,
нужно выбрать 3 яблока и 2 груши.
Сколькими способами это можно сделать?

на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «конверт»?

Найти: а) А86 _Р4, б) А57 -Р5 , в)

курс по математике: Теория вероятностей (для IX-XI кл.) - М.:Просвещение, 1990.-160 с.
Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изучением математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1996.-288с.
Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. - М.:Просвещение, 1971.- 461 с.
Ведёрников В.А., Сорокина М.М. Элементы высшей математики. Учебное пособие для студентов юридического факультета. - Брянск: Изд-во БГПУ, 1999.- 71 с.
Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа 11. - М.:Мнемозина, 2001.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ 11. - М.:Мнемозина, 2001.
Математика в школе: Научно-методический журнал. №4, 2002; №6, 2003.
Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры. Статья в журнале «Математика в школе» №6, 2004.
Ю.Н.Миндюк, Н.Г.Миндюк. Изучаем элементы статистики и теории вероятностей. Статья в журнале «Математика в школе» №5, 2004.
Комбинаторика и вероятность. Учебное пособие для учащихся заочной математической школы при СПбГУ. СПБ., 1999, 2001.