Презентация, доклад Избавляемся от иррациональности (10 класс)

Никита
Учитель: Раева Е.В.

дроби. Если в знаменателе находится корень, умножьте дробь на некоторый член или выражение, чтобы избавиться от корня. Современные калькуляторы позволяют работать с корнями в знаменателе, но образовательная программа требует, чтобы учащиеся умели избавляться от иррациональности в знаменателе.
Рассмотрим варианты возможных действий

– отношение, которое является переводом греческого слова «логос» в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески «алогос») правда, первоначально термин «рациональный» и «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми. √2

, где m - целое число, n – натуральное число. Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби.

знаменателе нет корня. Если в знаменателе есть квадратный или любой другой корень, нужно умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен, чтобы избавиться от корня. Обратите внимание, что в числителе может стоять корень – это нормально
7√3
2√7
Здесь в знаменателе есть корень √7

в знаменателе находится одночлен, рационализировать такую дробь довольно просто. Умножьте числитель и знаменатель на один и тот же одночлен (то есть вы умножаете дробь на 1).

которое содержит корень, придется рационализировать полученную дробь (и только потом упрощать ее). В этом случае используйте метод, описанный в первом или втором разделах (в зависимости от задачи).

дана дробь, поменяйте местами числитель и знаменатель. Помните, что любое выражение является дробью, в знаменателе которой находится 1.

корня.

 Умножая числитель и знаменатель на одно и то же выражение, вы умножаете дробь на 1, то есть значение дроби не меняется. В нашем примере дан бином, поэтому умножьте числитель и знаменатель на сопряженный двучлен.

редко. Описанный метод применим к корням любой степени

некоторый одночлен или выражение, потому что рационализация осуществляется немного по-другому.

степени в знаменателе стал равен 1. 

части на сопряженное выражение.
Введение новой переменной.

степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательна проверка.
При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Нам удалось перейти от иррационального уравнения, к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто, корнем которого является число x=10.
Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение, такой способ называется методом возведения в квадрат. Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении таких уравнений.

данное число не является решение исходного иррационального уравнения, давайте подставим -15 в исходное уравнение



Мы с вами умеем вычислять корни квадратные только из положительных чисел, в данном случае выражение не имеет смысл, но тогда какой же это корень уравнения? В таких случаях принято говорить, что получен посторонний корень. Рассмотренное иррациональное уравнение в таком случае не имеет корней.
В случае иррациональных уравнений, всегда проверяйте полученные корни!

Виета, получим корни данного уравнения х=4 и х=-6.
Выполним проверку





У нас получилось, что только один корень подходит. Таким образом, опять же убедились в том, что проверку корней необходимо проводить всегда!

√ B и √ A − √ B называются сопряжёнными. Произведение сопряжённых выражений, будучи разностью квадратов, не содержит знаков квадратного корня.

переменной, обозначив новой буквой имеющийся корень из некоторого выражения.

новой переменой, представим , тогда исходное уравнение примет вид




Введя обратную замену


Из первого выражения х=49, а второе не имеет смысла.
Ответ: х=49.

обеих частей уравнения
• в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня (проверка необходима).
• в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному (проверка не нужна).

Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований – проверка не нужна.

ВЫВОД