Презентация, доклад на тему Презентации к урокам на тему Комплексные числа

Урок разработан по предмету математика для учащихся профильного 11 класса

Садикова Э.Ф.
учитель математики

Выход

Х=

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х3+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять.

В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами.

imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707): (cosϕ+isinϕ)n=cos(ϕn)+isin(ϕn).
Л.Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
eiπ=cosx+isinx, которая связала воедино показательную
функцию с тригонометрической.

2. Коммутативный (переместительный) закон умножения
m * n = n * m
3. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения
(m + n) + k = m + (n + k)
4. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения
(m * n) * k = m * (n * k)
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения
(m + n) * k = m * k + n * k

Вывод: множество всех действительных чисел образует поле

a и b – действительные числа
i- некоторый символ , такой, что i²= -1
a – действительная часть
b – мнимая часть
i – мнимая единица

a+bi

2

Вычитание

Опр.: разность 2-х комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется такое комплексное число z3 равно х+уi, которое в сумме с z2 дает z1
Пример 2. (5+6i)-(3+7i)=2-i

Примеры для самостоятельного выполнения

Пример 3. (3+4i)*(6-5i)=(18+20)+(-15+24)i=38+9i
Деление

Опр.: комплексные числа z=a+bi и z’=a-bi называются сопряженными.

Опр.: частным от деления комплексного числа z1на z2, не равное (0+0i), называется такое комплексное число z3, которое при умножении на z2 дает z1.

Примеры для самостоятельного выполнения

В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталось незамеченной. Лишь через три десятка лет К.Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление, как и Вессель.

Немножко из истории

Взяты две оси, названы соответственно действительная ось и мнимая ось и расположены перпендикулярно друг другу – так, что они пересекаются в нулевой точке.
Комплексные числа «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси.

Точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3+5i. Точка В(-4;-5) изображает комплекс-ное число –4-5i

Сопряженные комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс, например точки А и А/ изображают сопряженные числа 3+5i и 3-5i.
Вывод: множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости

Примеры для самостоятельного выполнения

а = a + bi = a – bi
Сопряженные числа равны друг другу, только в том случае, если это число действительное.

Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное чисел есть число

Примеры для самостоятельного выполнения

ОМ равна

Любое комплексное число a+bi можно представить в виде:

z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
z1 * z2= r1r2(cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2))

Замечание: теорема 1 справедлива для любого числа сомножителей. В том числе когда сомножители равны между собой получим

Формула Муавра

При r = 1, (cosϕ+isinϕ)n = cos nϕ + I sin nϕ

9. Найти произведение и частное чисел

2. Найти действительные числа х и у из уравнений:
а) (0+3i)-(10x+2yi)=-5+3i; б) (x-5yi)+(2x-yi)=6+3i
3. Дать геометрическую интерпретацию формулы
(2+4i)+(6+3i)=8+7i 6. Выполнить действия:
4. Вычислить: а)
i12+i16+i19+i50 б)
5. Решить уравнения: в)
а) х3=3; б) х4=-36

2. Найти действительные числа х и у из уравнений:
а) (х+3yi)+(1.5y+2xi)=4+8i; б) (2x-5i)+(7y+2xi)=-12+3yi
3. Дать геометрическую интерпретацию формулы
(4+2i)+(3+5i)=7+7i 6. Выполнить действия:
4. Вычислить: а)
i13+i15+i36+i74 б)
5. Решить уравнения: в)
а) х3=5; б) х4=-25