Презентация, доклад по математике на темуМодуль геометрия .Треугольники

Содержание

Высота, медиана, биссектриса треугольникаОтрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианойАМАМ – медианаОтрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольникаАА1АА1 – биссектрисаПерпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,

Слайд 1Подготовка к ОГЭ модуль «Геометрия» Треугольники
учитель математики
МБОУ лицей №87 имени Л.И.

Новиковой
Никулина С.И.
Подготовка к ОГЭ модуль «Геометрия» Треугольники учитель математики МБОУ лицей №87 имени Л.И. Новиковой Никулина С.И.

Слайд 2Высота, медиана, биссектриса треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны,

называется медианой

А

М

АМ – медиана

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

А

А1

АА1 – биссектриса

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется перпендикуляром

Н

А

АН - высота

Высота, медиана, биссектриса треугольникаОтрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианойАМАМ – медианаОтрезок биссектрисы угла

Слайд 3Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его

сторон.

К

М

КМ – средняя линия

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

А

В

С

Средняя линия треугольникаСредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.КМКМ – средняя линияСредняя линия треугольника

Слайд 4Cерединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного

отрезка и перпендикулярна к нему

а

А

В

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему

М

А

В

О

m

m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ,
О – середина отрезка АВ
М Є m
АМ = ВМ

Cерединный перпендикулярСерединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к немуаАВа –

Слайд 5Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной

точке

А

В

С

m

n

p

O

m, n, p пересекаются в точке О

Точка пересечения серединных перпендикуляровСерединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точкеАВСmnpOm, n, p пересекаются в точке

Слайд 6Точка пересечения биссектрис треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
А
В
С
К
СК – биссектриса



М

АМ – биссектриса <А

ВР – биссектриса <В

Р

О

О – точка пересечения биссектрис

Точка пересечения биссектрис треугольникаБиссектрисы треугольника пересекаются в одной точкеАВСКСК – биссектриса

Слайд 7Точка пересечения высот треугольника
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной

точке

А

С

В

К

М

Р

О

О – точка пересечения высот

Точка пересечения высот треугольникаВысоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точкеАСВКМРОО – точка пересечения высот

Слайд 8Точка пересечения медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит

каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

А

В

С

К

М

Р

О

ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС
О – точка пересечения медиан

СО : КО = 2 : 1
АО : МО = 2 :1
ВО : РО = 2 : 1

Точка пересечения медиан треугольникаМедианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая

Слайд 9Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны
Треугольник, все

стороны которого равны, называется равносторонним

АВ = ВС

А

В

С

А

В

С

АВ = АС = ВС

Равнобедренный треугольникРавносторонний треугольникТреугольник называется равнобедренным, если две его стороны равныТреугольник, все стороны которого равны, называется равностороннимАВ =

Слайд 10Свойства равнобедренного треугольника
А
С
В
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

АС = ВС

СК - биссектриса

К

АК = КВ, СК АВ

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Свойства равнобедренного треугольникаАСВВ равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Слайд 11Прямоугольный треугольник
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным
АВ

и АС – катеты
ВС - гипотенуза

А

В

С

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

ВС² = АВ² + АС²

Прямоугольный треугольникТреугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным АВ и АС – катетыВС - гипотенузаАВСТеорема

Слайд 12Свойства прямоугольного треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Катет прямоугольного

треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

С

А

В

< A = 30°
CB = AB

30°

Если CB = AB, то


Слайд 13Признаки равенства треугольников
I признак
По двум сторонам и углу между ними

II признак
По

стороне и прилежащим к ней углам

III признак
По трем сторонам

А

N

М

К

С

В

Если AB = KM,
AC = KN,
то ∆ABC = ∆KMN

А

C

B

P

N

К

Если AB = KP, BC = PK,
то ∆ABC = ∆KPN

А

C

B

M

K

N

Если АВ = КМ,
АС = KN, BC = MN,
то ∆АВС = ∆KNM


Слайд 14Признаки равенства прямоугольных треугольников
По двум катетам

Если АВ = КМ, АС =

KN,
то ∆АВС = ∆KMN

А

N

М

К

С

В

По катету и прилежащему острому углу

Если AB = KM, то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и острому углу
Если ВС = MN, то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и катету

Если ВС = МN, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN

Признаки равенства прямоугольных треугольниковПо двум катетамЕсли АВ = КМ, АС = KN, то ∆АВС = ∆KMNАNМКСВПо катету

Слайд 15Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
А
В
С
АВ < ВС

+ АС
АС < АВ + ВС
ВС < АВ + АС
Неравенство треугольникаКаждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонАВСАВ < ВС + АСАС < АВ + ВСВС

Слайд 16Сумма углов треугольника равна 180°
A
B
C

смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним

О

<АВО – внешний

Сумма углов треугольника равна 180°ABC

Слайд 17

<3 = 180°
<1 + <2 = <4

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

1

2

3

4


Слайд 18Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
В треугольнике:
1) против большей

стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Зависимость между величинами сторон и углов треугольникаВ треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;2) обратно, против

Слайд 19Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных

отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки

а

b

А1

А2

А3

А1 А2 = А2А3 = А3 А4

А4

Проведем параллельные прямые

В1

В2

В3

В4

В1В2 = В2В3 = В3В4

Теорема ФалесаЕсли на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести

Слайд 20Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и

стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

А

С

В

В1

А1

С1


k – коэффициент подобия

∆АВС ∞ ∆ A1

B1

C1


Слайд 21Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум

углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

А

В

С

К

М

Р

Если
то ∆АВС ∞ ∆КРМ

Если
АВ : КР = АС : КМ,
<А = <К,
то ∆АВС ∞ ∆КРМ

∆АВС ∞ ∆КРМ


Слайд 22Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0°

до 180°

С

А

В

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°САВСинусом острого угла прямоугольного треугольника

Слайд 23sin² x + cos² x = 1
Основное тригонометрическое тождество
Теорема о площади

треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

a

b

C

sin² x + cos² x = 1Основное тригонометрическое тождествоТеорема о площади треугольникаПлощадь треугольника равна половине произведения двух

Слайд 24Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
Теорема синусов
а
b
c
C
B
A

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих угловТеорема синусоваbcCBA

Слайд 25Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное

произведение этих сторон на косинус угла между ними

Теорема косинусов

а

b

c

C

B

A

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла

Слайд 26№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием

АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Ответ: 66°

123°

А

С

В

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине

Слайд 27№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°,

угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Ответ: 74°

А

D

С

В


Слайд 28№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого.

Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть х + 2х = 90°
х = 30°
Ответ: 30°

А

С

В


Слайд 29№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым

углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника

Решение:

С

В

А

К

Ответ: 5

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС

Слайд 30№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол

при вершине В равен 68°. Найдите угол А.

Решение:

I способ:
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно
Ответ: 40°

А

В

С

28

68

II способ:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Следовательно
Ответ: 40°



Слайд 31№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся

их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.

Решение:

∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу между ними)
AO = OB, DO = OC по условию,
следовательно
DB = AC



А

D

С

В

О

Достроим треугольники АВС и ВАD.

∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и углу между ними)
AO = OB, DO = OC по условию,
следовательно
АD = ВC

Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом
∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС

Слайд 32№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина

ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.

Решение:

Так как MN || АС,
то

А

В

С

М

N

Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ∆АВС

следовательно MN || АС.

следовательно
∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)

Что и требовалось доказать

№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и

Слайд 33№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена

высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.

Решение:

∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам
( ∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам
(углы при вершине P прямые, Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то

L

M

K

P

Что и требовалось доказать.

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² =

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть