Презентация, доклад по геометрии Четыре замечательные точки треугольника 8 класс

Выполнил
учитель математики
МБОУ ОШ №5 г. Бор
Массарова Ю.В.

каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

MK и ML к прямым AB и AC и докажем, что MK=ML.
Рассмотрим прямоугольные треуг. AMK и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM- общая гипотенуза, ⁄ 1=⁄ 2 по условию) Следовательно, MK=ML.

A

K

L

C

1

2

M

его сторон AB и AC. Докажем, что луч AM- биссектриса угла BAC. Проведём перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML равны по гипотенузе и катету (AM – общая гипотенуза, MK=ML по условию.) Следовательно, / 1=/ 2. Но это и означает, что луч AM – биссектриса угла BAC.
Теорема доказана.

A

K

L

C

1

2

M

точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СA. По доказанной теореме ОК=ОМ и OK=OL. Поэтому OM=OL, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

C1

A

B

C

K

L

M

B1

А1

O

середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

a

A

B

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

О — середина этого отрезка.
1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка AB. Пусть М и О — различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет), поэтому АМ=ВМ.

M

A

B

O

m

и докажем, что точка N лежит на прямой т. Если N — точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой т. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник ANB равнобедренный, так как AN=BN. Отрезок NO — медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NO AB, поэтому прямые ON и m совпадают, т. е. N— точка прямой m. Теорема доказана.

m

A

B

N

O

сторонам АВ и ВС треугольника ABC.
Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m || n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно.
По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и р к сторонам треугольника AВС пересекаются в точке О.

O

A

B

C