Презентация, доклад Кривые второго порядка

двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2. Пусть M – произвольная точка эллипса. Расстояние |F1 F2| между фокусами обозначим 2c, сумму расстояний от точки M до фокусов – через 2a. Так как по определению эллипса |F1M| +|F2M|> |F1 F2|, то 2a>2с или a>c.

Далее

фокусов (r1=|F1M|, r2=|F2M|).
Числа r 1 и r2 называются фокальными радиусами точки М.
Следовательно точка М(x; y) принадлежит данному эллипсу
тогда и только тогда, когда r1+r2=2a.

Далее

фокусы лежат на оси Оx и находятся на равном расстоянии от начала координат, то эллипс задаётся каноническим уравнением эллипса

Таким образом, эллипс – линия второго порядка. Оси
симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии
(точка пересечения осей) – центром эллипса. Точки,
в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами.
Так как на а>=b, то 2а – длина большой оси
симметрии эллипса, 2b – малой оси.

.

.

Далее

Где a – длина большой полуоси, b – длина малой полуоси и они
связаны соотношением

от его
соотношения между а и с (половина расстояния между
фокусами) называется эксцентриситет.

и М2(1;

Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид

точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо x и y сначала координаты
точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений

Пусть

получаем

решив которую находим

откуда а2=16, b2=12. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

).

. Координаты данных

Назад

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М

и N

Решение:

Пример 2.

Пусть

Искомое уравнение эллипса. Этому уравнению должны

удовлетворять координаты данных точек.

Следовательно,

Отсюда находим

Уравнение эллипса имеет вид

одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.

Далее

Если директриса параболы оси y и находится на равном
расстоянии от начала координат с фокусом, то уравнение
Параболы имеет вид:

-симметрична оси Y .

осью параболы.
Число p, т. е. параметр параболы выражает расстояние от фокуса до директрисы.
Параметр параболы влияет на её форму.

Назад

получаем, что 2p=6, откуда p=3. Так как фокус параболы имеет координаты

а директриса – уравнение

, то для данной параболы получаем:

и уравнение директрисы

.

. Составить уравнение её директрисы и найти

координаты её фокуса.

,

,

координаты фокуса

Назад

Пример 2.

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной
относительно оси Oy и отсекающей на биссектрисе 1 и 3 координатных углов хорду
длиной

Искомое уравнение параболы

уравнение биссектрисы y=x.

Получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: О(0;0) и М(2p; 2p).

Решение:

Длина хорды

, откуда 2p=8. Искомое уравнение

График параболы

Y

X

0

M

Назад

от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

.

.

Далее

Если гипербола расположена таким образом, что её фокусы
Находятся на оси x на равном расстоянии от начала
Координат , то она задаётся каноническим уравнением

центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках,
которые называются её вершинами. Одна ось называется действительной осью,
а другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью
гиперболы. Прямоугольник BB’C’C со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины a и b называются соответственно
действительной и мнимой полуосями гиперболы

.

Гипербола с равными полуосями (а=b) называется
равносторонней,

,

фокусами, а – большая полуось гиперболы.

Далее

уравнение будет уравнением обратной
пропорциональности.
Две гиперболы:

имеют одни и те же асимптоты, но действительная

называются сопряженными.

ось одной служит мнимой осью

другой такие гиперболы

уравнение гиперболы к каноническому виду:

что действительная полуось а=2, а мнимая полуось

гиперболы имеют уравнения

эксцентриситет ε=

, а

координаты фокусов

и

; эксцентриситет ε=

и уравнение асимптот

. Найти её действительную и мнимую

, находим,

. Так как асимптоты

, фокусы – координаты (-с; 0) и (с; 0)

, то для данной гиперболы получаем:

Назад